Heteroskedastizität

Was ist Heteroskedastizität?

Heteroskedastizität tritt in der Statistik auf, wenn die Standardabweichungen einer vorhergesagten Variablen im Laufe der Zeit variieren. Im Finanzwesen äußert sich dies in einer sich ändernden Volatilität der Aktien- und Anleihekurse und stellt die Annahmen in linearen Regressionsmodellen in Frage. Sie kann die Genauigkeit ökonometrischer und finanzieller Analysen beeinträchtigen, insbesondere solcher, die das Capital Asset Pricing Model (CAPM) verwenden.

Wichtige Erkenntnisse

• Heteroskedastizität tritt in der Statistik auf, wenn die Standardabweichungen einer über die Zeit beobachteten Variablen nicht konstant sind.
• Bedingte Heteroskedastizität ist mit der Volatilität vergangener Perioden verbunden, während unbedingte Heteroskedastizität strukturelle Veränderungen umfasst, die nicht mit der vergangenen Volatilität zusammenhängen.
• Im Finanzwesen werden heteroskedastische Muster bei Aktien- und Anleihekursen beobachtet, was Modelle wie das CAPM beeinflusst.
• Während Heteroskedastizität die Koeffizientenschätzungen nicht verzerrt, verringert sie deren Genauigkeit, was die Zuverlässigkeit des Modells beeinträchtigt.
• Unbedingte Heteroskedastizität kann sich auf vorhersagbare zyklische Variablen beziehen, im Gegensatz zur bedingten Heteroskedastizität, die nicht vorhersagbar ist.
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Wichtig

Während Heteroskedastizität keine Verzerrung der Koeffizientenschätzungen verursacht, macht sie diese dennoch ungenauer; eine geringere Genauigkeit erhöht die Wahrscheinlichkeit, dass die Koeffizientenschätzungen weiter vom korrekten Populationswert entfernt sind.

Die Grundlagen der Heteroskedastizität verstehen

Im Finanzwesen ist bedingte Heteroskedastizität häufig bei Aktien- und Anleihekursen zu beobachten. Das Volatilitätsniveau dieser Wertpapiere kann über keinen Zeitraum vorhergesagt werden. Unbedingte Heteroskedastizität kann verwendet werden, wenn Variablen mit identifizierbarer saisonaler Variabilität diskutiert werden, wie z. B. der Stromverbrauch.

In Bezug auf die Statistik bezieht sich Heteroskedastizität (auch Heteroskedastizität geschrieben) auf die Fehlervarianz oder die Abhängigkeit der Streuung innerhalb mindestens einer unabhängigen Variablen in einer bestimmten Stichprobe. Diese Variationen können verwendet werden, um die Fehlermarge zwischen Datensätzen zu berechnen, z. B. zwischen erwarteten und tatsächlichen Ergebnissen, da sie ein Maß für die Abweichung der Datenpunkte vom Mittelwert liefert.

Damit ein Datensatz als relevant gilt, müssen die meisten Datenpunkte innerhalb einer bestimmten Anzahl von Standardabweichungen vom Mittelwert liegen, wie durch den Satz von Tschebyschow (auch bekannt als Tschebyschow-Ungleichung) beschrieben. Dies liefert Richtlinien zur Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable vom Mittelwert abweicht.

Basierend auf der angegebenen Anzahl von Standardabweichungen hat eine Zufallsvariable eine bestimmte Wahrscheinlichkeit, innerhalb dieser Punkte zu liegen. Beispielsweise kann gefordert werden, dass ein Bereich von zwei Standardabweichungen mindestens 75 % der Datenpunkte enthält, um als gültig zu gelten. Eine häufige Ursache für Varianzen außerhalb der Mindestanforderung wird oft auf Probleme mit der Datenqualität zurückgeführt.

Das Gegenteil von heteroskedastisch ist homoskedastisch. Homoskedastizität bezeichnet einen Zustand, in dem die Varianz des Residuenterms konstant oder nahezu konstant ist. Homoskedastizität ist eine Annahme der linearen Regressionsmodellierung. Sie ist erforderlich, um sicherzustellen, dass die Schätzungen genau sind, die Prognosegrenzen für die abhängige Variable gültig sind und die Konfidenzintervalle und p-Werte für die Parameter gültig sind.

Untersuchung verschiedener Arten von Heteroskedastizität

Unbedingte Heteroskedastizität

Unbedingte Heteroskedastizität ist vorhersagbar und hängt oft mit zyklischen Variablen zusammen. Beispiele sind erhöhte Einzelhandelsumsätze während der Feiertage oder mehr Klimaanlagenreparaturen in wärmeren Monaten.

Varianzänderungen können direkt mit bestimmten Ereignissen oder Markern verbunden sein, wenn die Verschiebungen nicht saisonal sind. Ein Beispiel ist der Anstieg der Smartphone-Verkäufe bei der Einführung eines neuen Modells, das ereignisbasierte, aber nicht saisonale Zyklen zeigt.

Heteroskedastizität kann auch auftreten, wenn Daten sich einer Grenze nähern, was aufgrund von Bereichsbeschränkungen zu einer geringeren Varianz führt.

Bedingte Heteroskedastizität

Bedingte Heteroskedastizität ist unvorhersagbar. Analysten können nicht leicht vorhersehen, wann Daten mehr oder weniger streuen. Finanzprodukte weisen häufig bedingte Heteroskedastizität auf, da nicht alle Änderungen auf bestimmte Ereignisse oder Jahreszeiten zurückzuführen sind.

Eine häufige Anwendung der bedingten Heteroskedastizität sind Aktienmärkte, bei denen die heutige Volatilität stark mit der gestrigen Volatilität zusammenhängt. Dieses Modell erklärt Perioden anhaltend hoher und niedriger Volatilität.

Wichtige Überlegungen zur Heteroskedastizität in Finanzmodellen

Heteroskedastizität und Finanzmodellierung

Heteroskedastizität ist ein wichtiges Konzept in der Regressionsmodellierung, und in der Investmentwelt werden Regressionsmodelle verwendet, um die Performance von Wertpapieren und Investmentportfolios zu erklären. Das bekannteste davon ist das Capital Asset Pricing Model (CAPM), das die Performance einer Aktie anhand ihrer Volatilität im Verhältnis zum Gesamtmarkt erklärt.1 Erweiterungen dieses Modells haben weitere Prädiktorvariablen wie Größe, Momentum, Qualität und Stil (Value versus Growth) hinzugefügt.

Diese Prädiktorvariablen wurden hinzugefügt, weil sie die Varianz der abhängigen Variablen erklären oder berücksichtigen. Die Portfolioperformance wird durch das CAPM erklärt. Beispielsweise wussten die Entwickler des CAPM, dass ihr Modell nicht ausreichend erklären konnte, warum hochwertige, weniger volatile Aktien oft besser abschnitten als vom Modell vorhergesagt. Das CAPM besagt, dass Aktien mit höherem Risiko besser abschneiden sollten als Aktien mit niedrigerem Risiko.

Mit anderen Worten: Aktien mit hoher Volatilität sollten Aktien mit niedrigerer Volatilität schlagen. Aber hochwertige Aktien, die weniger volatil sind, tendierten dazu, besser abzuschneiden als vom CAPM vorhergesagt.

Später erweiterten andere Forscher das CAPM-Modell (das bereits um andere Prädiktorvariablen wie Größe, Stil und Momentum erweitert worden war) um die Qualität als zusätzliche Prädiktorvariable, auch als „Faktor“ bezeichnet. Mit der Aufnahme dieses Faktors in das Modell wurde die Performance-Anomalie von Aktien mit niedriger Volatilität erklärt. Diese Modelle, bekannt als Multi-Faktor-Modelle, bilden die Grundlage für Faktor-Investing und Smart Beta.