Konvexitätsanpassung

Wie man die Konvexitätsanpassung bei Anleihen berechnet, mit Formeln

Was ist eine Konvexitätsanpassung?

Eine Konvexitätsanpassung beinhaltet die Modifikation der Konvexität einer Anleihe basierend auf der Differenz zwischen Termin- und zukünftigen Zinssätzen. Wie der Name schon sagt, ist Konvexität nichtlinear. Aus diesem Grund müssen von Zeit zu Zeit Anpassungen vorgenommen werden. Die Konvexität einer Anleihe misst, wie sich ihre Duration als Folge von Änderungen der Zinssätze oder der Restlaufzeit verändert.

Wichtige Erkenntnisse

Die Konvexitätsanpassung verfeinert Terminzinssätze, indem sie die Nichtlinearität von Anleihekurs und Rendite berücksichtigt.
Im Gegensatz zur Duration berücksichtigt die Konvexität die Beziehung zwischen Anleihekursen und Zinssätzen.
Die Konvexitätsanpassung ist entscheidend für eine genaue Anleihebewertung bei großen Renditeänderungen.
Die Anpassung berücksichtigt die Konvexität einer Anleihe und die quadrierte Renditeänderung.
Die Verwendung von Duration und Konvexität hilft, Kursänderungen bei Anleihen genauer abzuschätzen.

Die Konvexitätsanpassungsformel verstehen

CA=CV×100×(Δy)2wobei:CV=Konvexität der AnleiheΔy=Renditeänderung\begin{aligned} &CA = CV \times 100 \times (\Delta y)^2 \\ &\textbf{wobei:} \\ &CV=\text{Konvexität der Anleihe} \\ &\Delta y=\text{Renditeänderung} \\ \end{aligned}CA=CV×100×(Δy)2wobei:CV=Konvexität der AnleiheΔy=Renditeänderung

Auswirkungen der Konvexitätsanpassung auf die Anleihebewertung

Konvexität bezieht sich auf die nichtlineare Änderung des Preises eines Outputs bei einer Änderung des Preises oder der Rate einer zugrunde liegenden Variablen. Der Preis des Outputs hängt stattdessen von der zweiten Ableitung ab. In Bezug auf Anleihen ist die Konvexität die zweite Ableitung des Anleihekurses nach den Zinssätzen.

Anleihekurse bewegen sich gegenläufig zu den Zinssätzen – steigen die Zinssätze, fallen die Anleihekurse und umgekehrt. Anders ausgedrückt ist die Beziehung zwischen Kurs und Rendite nicht linear, sondern konvex. Um das Zinsänderungsrisiko aufgrund von Änderungen der vorherrschenden Zinssätze in der Wirtschaft zu messen, kann die Duration der Anleihe berechnet werden.

Die Duration ist der gewichtete Durchschnitt des Barwerts der Kuponzahlungen und der Rückzahlung des Kapitals. Sie wird in Jahren gemessen und schätzt die prozentuale Änderung des Kurses einer Anleihe bei einer kleinen Änderung des Zinssatzes. Man kann die Duration als das Werkzeug betrachten, das die lineare Änderung einer ansonsten nichtlinearen Funktion misst.

Konvexität ist die Rate, mit der sich die Duration entlang der Renditekurve ändert. Sie ist also die erste Ableitung der Gleichung für die Duration und die zweite Ableitung der Gleichung für die Kurs-Rendite-Funktion oder der Funktion für die Änderung der Anleihekurse nach einer Änderung der Zinssätze.

Da die Duration aufgrund der Konvexität der Renditekurve große Kursänderungen möglicherweise nicht genau vorhersagen kann, kann die Verwendung der Konvexität helfen, diese Kursverschiebungen abzuschätzen.

Eine Konvexitätsanpassung berücksichtigt die Form der Renditekurve, um Kursänderungen bei signifikanten Zinsverschiebungen besser abzuschätzen. Wir verwenden Konvexitätsanpassungen, um die Durationsschätzungen zu verbessern.

Praktisches Beispiel: Anwendung der Konvexitätsanpassung auf Anleihen

Sehen Sie sich dieses Beispiel an, wie die Konvexitätsanpassung angewendet wird:

AMD=−Duration×Renditeänderungwobei:AMD=Jährliche modifizierte Duration\begin{aligned} &\text{AMD} = -\text{Duration} \times \text{Renditeänderung} \\ &\textbf{wobei:} \\ &\text{AMD} = \text{Jährliche modifizierte Duration} \\ \end{aligned}AMD=−Duration×Renditeänderungwobei:AMD=Jährliche modifizierte Duration

CA=12×BC×Renditeänderung2wobei:CA=KonvexitätsanpassungBC=Konvexität der Anleihe\begin{aligned} &\text{CA} = \frac{ 1 }{ 2 } \times \text{BC} \times \text{Renditeänderung} ^2 \\ &\textbf{wobei:} \\ &\text{CA} = \text{Konvexitätsanpassung} \\ &\text{BC} = \text{Konvexität der Anleihe} \\ \end{aligned}CA=21×BC×Renditeänderung2wobei:CA=KonvexitätsanpassungBC=Konvexität der Anleihe

Nehmen wir an, die jährliche Konvexität einer Anleihe beträgt 780 und ihre jährliche modifizierte Duration 25. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 2,5 % und wird voraussichtlich um 100 Basispunkte (Bp) steigen:

AMD=−25×0.01=−0.25=−25%\text{AMD} = -25 \times 0.01 = -0.25 = -25\%AMD=−25×0.01=−0.25=−25%

Beachten Sie, dass 100 Basispunkte 1 % entsprechen.

CA=12×780×0.012=0.039=3.9%\text{CA} = \frac{1}{2} \times 780 \times 0.01^2 = 0.039 = 3.9\%CA=21×780×0.012=0.039=3.9%

Die geschätzte Kursänderung der Anleihe nach einem Anstieg der Rendite um 100 Bp beträgt:

Jährliche Duration+CA=−25%+3.9%=−21.1%\text{Jährliche Duration} + \text{CA} = -25\% + 3.9\% = -21.1\%Jährliche Duration+CA=−25%+3.9%=−21.1%

Bedenken Sie: Wenn die Rendite steigt, fallen die Kurse und umgekehrt. Eine Anpassung für Konvexität ist oft erforderlich bei der Bewertung von Anleihen, Zinsswaps und anderen Derivaten. Diese Anpassung ist notwendig, weil sich Anleihekurse ungleichmäßig mit Zinsverschiebungen ändern.

Mit anderen Worten: Der prozentuale Anstieg des Kurses einer Anleihe bei einer definierten Senkung der Zinssätze oder Renditen ist immer größer als der Rückgang des Anleihekurses bei demselben Anstieg der Zinssätze oder Renditen. Mehrere Faktoren beeinflussen die Konvexität einer Anleihe, darunter ihr Kupon, die Duration, die Restlaufzeit und der aktuelle Kurs.