Lokale Volatilität

Lokale Volatilität in der Optionspreisbildung: Wichtige Erkenntnisse und Anwendungen

Wichtige Erkenntnisse

Die lokale Volatilität (LV) misst die Volatilität einer Option, indem sie Ausübungspreise und Restlaufzeit berücksichtigt, um eine genauere Risikobewertung zu ermöglichen.
Im Gegensatz zum Black-Scholes-Modell ermöglicht die LV jeder Option ein eigenes Volatilitätsniveau, das ihren wahren theoretischen Wert genauer widerspiegelt.
Die LV ist besonders nützlich für die Bewertung exotischer Optionen und die Anpassung an Marktschwankungen wie das Volatilitätslächeln und Terminstrukturen.
Die lokale Volatilität kann empfindlicher auf Änderungen der impliziten Volatilität reagieren, was zu deutlichen Verschiebungen ihres Wertes führt.

Was ist lokale Volatilität (LV)?

Die lokale Volatilität (LV) ist ein fortgeschrittenes Maß, das in Finanzmärkten verwendet wird, um das mit der Optionspreisbildung verbundene Risiko genauer zu erfassen. Sie hilft, eine umfassendere Sicht auf die Volatilität zu bieten, indem sie sowohl Ausübungspreise als auch Restlaufzeit aus dem Black-Scholes-Modell einbezieht, um Preis- und Risikostatistiken für Optionen zu erstellen. Die lokale Volatilität steht im Zusammenhang mit der impliziten Volatilität (IV) einer Option und kann daraus extrapoliert werden.

Das Black-Scholes-Modell verallgemeinert das gleiche Volatilitätsniveau für alle Optionen, aber die lokale Volatilität ermöglicht es jeder einzelnen Option, ein eigenes Volatilitätsniveau zu haben. Dies spiegelt den wahren theoretischen Wert einer Option genauer wider. Indem sie Schwankungen und Unvollkommenheiten in den Marktdaten berücksichtigt, bietet die LV Händlern und Finanzanalysten ein verfeinertes Werkzeug zur Bewertung exotischer Optionen und zum Verständnis der Marktdynamik.

Ein tiefer Einblick in die lokale Volatilität

Das Konzept der lokalen Volatilität wurde von den Ökonomen Emanuel Derman und Iraj Kani eingeführt.1 Die lokale Volatilität versucht, die tatsächliche Volatilität einer Option über eine Reihe von Ausübungspreisen und Verfallsterminen zu identifizieren. Die lokale Volatilität versucht, eine Zwei-Faktor-Analyse zu verwenden, um eine genauere tatsächliche Volatilitätsmessung als die implizite Volatilität zu liefern. Grafisch dargestellt passt sich die lokale Volatilität in der Regel enger an die Daten an als die implizite Volatilität. Einige Akademiker haben darüber nachgedacht, dass die lokale Volatilität aus logischer Sicht der angemessenere Input ist, während die implizite Volatilität verwendet werden kann, um den korrekten Preis zu erhalten.

Die lokale Volatilität ersetzt im Wesentlichen die konstante Volatilitätsfunktion, die aus Ausübungspreis und Verfall berechnet wird. Stattdessen beantwortet die lokale Volatilität die gleiche Risikofrage auf andere Weise, indem sie den Vermögenspreis und die Zeit betrachtet, was zu einer anderen Sicht auf die Volatilität um eine Option bei gleichen Eingaben führt.

Da die lokale Volatilität oft aus der impliziten Volatilität extrapoliert wird, ist sie empfindlich gegenüber Änderungen der impliziten Volatilität. Dies bedeutet, dass kleine Änderungen der impliziten Volatilität zu drastischeren Verschiebungen der lokalen Volatilität führen.

Anwendungen der lokalen Volatilität in der Optionspreisbildung

Eine der Hauptkritiken am ursprünglichen Black-Scholes-Modell ist, dass es versucht, die Volatilität des Basiswerts über die gesamte Laufzeit der Option auf einem konstanten Niveau zu fixieren. Dies spiegelt nicht die tatsächlichen Marktdaten wider, die wir haben, aber das Modell ist dennoch eines der effektivsten Bewertungsschemata für Optionen.

In der Realität kann der Markt ein Volatilitätslächeln hervorbringen, das nach dem Börsencrash von 1987 ernsthaft beobachtet wurde.2 Dies veranlasste Akademiker und Händler, nach besseren Möglichkeiten zur Darstellung der Volatilität zu suchen. Die lokale Volatilität ist eines der Produkte, die aus dieser Suche hervorgegangen sind.

Die lokale Volatilität kann besonders nützlich sein bei der Bewertung exotischer Optionen, die sich nur schwer an Standardmodelle anpassen lassen. Sie ist darauf ausgelegt, Marktpreise zu treffen, und kann verwendet werden, um alle Kombinationen von Ausübungspreisen und Verfallsterminen zu bewerten, im Gegensatz zu der einzelnen Verfallszeit, die die implizite Volatilität abdeckt.

Allerdings werden sowohl die lokale Volatilität als auch die implizite Volatilität oft gemeinsam untersucht und mit der historischen Volatilität verglichen. Während die lokale und die implizite Volatilität aus aktuellen Optionspreisniveaus unter Verwendung des Black-Scholes-Modells generiert werden, kann die historische Volatilität verwendet werden, um einen Black-Scholes-Modellpreis zu erzeugen, der durch vergangene Daten tatsächlicher Preisschwankungen gemildert wird.

Erkundung der Volatilitätsoberfläche in Optionsmärkten

Die Volatilitätsoberfläche ist eine dreidimensionale Darstellung lokaler Volatilitäten, bei der die x-Achse die Restlaufzeit, die z-Achse der Ausübungspreis und die y-Achse die implizite Volatilität ist. Wenn das Black-Scholes-Modell vollständig korrekt wäre, dann sollte die implizite Volatilitätsoberfläche über Ausübungspreise und Restlaufzeiten flach sein. In der Praxis ist dies nicht der Fall.

Die Volatilitätsoberfläche ist weit davon entfernt, flach zu sein, und variiert oft im Laufe der Zeit, da die Annahmen des Black-Scholes-Modells nicht immer zutreffen. Optionen mit niedrigeren Ausübungspreisen haben beispielsweise tendenziell höhere implizite Volatilitäten als solche mit höheren Ausübungspreisen.

Kurzer Fakt

Wenn die Restlaufzeit gegen unendlich geht, konvergieren die Volatilitäten über die Ausübungspreise hinweg tendenziell zu einem konstanten Niveau.

Die Terminstruktur der Volatilität beschreibt, wie sich die lokale Volatilität zwischen Optionen mit unterschiedlichen Restlaufzeiten ändert. Allerdings wird oft beobachtet, dass die Volatilitätsoberfläche ein umgekehrtes Volatilitätslächeln aufweist. Optionen mit kürzerer Restlaufzeit haben ein Vielfaches der Volatilität im Vergleich zu Optionen mit längeren Laufzeiten. Diese Beobachtung ist in Phasen hoher Marktbelastung noch ausgeprägter. Es ist zu beachten, dass jede Optionskette anders ist und die Form der Volatilitätsoberfläche über Ausübungspreis und Zeit wellenförmig sein kann. Zudem haben Put- und Call-Optionen in der Regel unterschiedliche Volatilitätsoberflächen.

Emanuel Derman and Iraj Kani. "The Volatility Smile and Its Implied Tree." Accessed June 29, 2021.

Luca Benzoni, Pierre Collin-Dufresne, and Robert S. Goldstein. "Explaining Asset Pricing Puzzles Associated With the 1987 Market Crash," Page 1. Accessed June 29, 2021.

Handel

Optionen und Derivate

Strategie & Bildung