Rückwärtsinduktion

Wichtige Erkenntnisse

• Rückwärtsinduktion löst Spiele durch logisches Schließen vom Ende zum Anfang.
• Sie bestimmt das Nash-Gleichgewicht für jedes Teilspiel unter der Annahme rationalen Verhaltens.
• Im echten Leben können irrationale Handlungen zu höheren Auszahlungen führen als vorhergesagt.
• Rückwärtsinduktion ist bei komplexen oder langwierigen Spielen weniger zuverlässig.
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Was ist Rückwärtsinduktion?

Rückwärtsinduktion ist ein iterativer Prozess des logischen Schließens vom Ende eines Problems oder einer Situation, um endliche extensive Formen und sequentielle Spiele zu lösen und eine Abfolge optimaler Handlungen abzuleiten. Sie wird in der Spieltheorie verwendet, um die optimale Abfolge von Handlungen basierend auf rationalem Verhalten zu bestimmen (was in realen Situationen möglicherweise nicht zutrifft).

Rückwärtsinduktion hilft, Nash-Gleichgewichte in sequentiellen Spielen zu identifizieren. Irrationale Entscheidungen von Spielern können zu besseren Auszahlungen führen als durch Rückwärtsinduktion vorhergesagt. Das Tausendfüßler-Spiel zeigt, wie Kooperation höhere Belohnungen bringen kann als Vorhersagen des Nash-Gleichgewichts.

Wie Rückwärtsinduktion Spielstrategien erklärt

Rückwärtsinduktion wird seit John von Neumann und Oskar Morgenstern verwendet, die die Spieltheorie als akademisches Fach etablierten, als sie 1944 ihr Buch „Theory of Games and Economic Behavior“ veröffentlichten.1

In jeder Phase des Spiels bestimmt die Rückwärtsinduktion die optimale Strategie des Spielers, der den letzten Zug im Spiel macht. Dann wird die optimale Handlung des vorletzten Spielers bestimmt, unter Berücksichtigung der Handlung des letzten Spielers. Dieser Prozess wird rückwärts fortgesetzt, bis die beste Handlung für jeden Zeitpunkt bestimmt wurde.

Kurzer Fakt

Im Wesentlichen verwendet man Rückwärtsinduktion, um das Nash-Gleichgewicht jedes Teilspiels des ursprünglichen Spiels zu finden.2

Allerdings sagen die aus der Rückwärtsinduktion abgeleiteten Ergebnisse oft das tatsächliche menschliche Spiel nicht voraus. Studien haben versucht zu erklären, warum „rationales“ Verhalten (wie von der Spieltheorie vorhergesagt) im wirklichen Leben selten gezeigt wird; die Psychologen Daniel Kahneman und Amos Tversky haben beispielsweise gezeigt, dass die Vorurteile, fehlerhaften Schlussfolgerungen und Verlustaversion der Menschen ihr Verhalten beeinflussen und zu irrationalen Entscheidungen führen.3

Praktisches Beispiel: Verwendung der Rückwärtsinduktion im Tausendfüßler-Spiel

Interessanterweise können irrationale Spieler tatsächlich höhere Auszahlungen erzielen als durch Rückwärtsinduktion vorhergesagt, wie das Tausendfüßler-Spiel zeigt. In diesem Spiel haben zwei Spieler abwechselnd die Chance, einen größeren Anteil eines wachsenden Geldtopfes zu nehmen oder den Topf an den anderen Spieler weiterzugeben. Die Auszahlungen sind so angeordnet, dass man, wenn der Topf an den Gegner weitergegeben wird und der Gegner den Topf in der nächsten Runde nimmt, etwas weniger erhält, als wenn man den Topf in dieser Runde genommen hätte. Das Spiel endet, sobald ein Spieler den Vorrat nimmt, wobei dieser Spieler den größeren Teil und der andere Spieler den kleineren Teil erhält.

Als Beispiel sowohl für Rückwärtsinduktion als auch für eine höhere Auszahlung bei irrationalen Entscheidungen nehmen wir an, Izaz und Jian spielen das Tausendfüßler-Spiel. Izaz beginnt und muss entscheiden, ob sie den Vorrat, der derzeit 2 $ beträgt, „nehmen“ oder „weitergeben“ soll. Wenn sie nehmen, erhalten Izaz und Jian jeweils 1 $, aber wenn Izaz weitergibt, muss Jian die Entscheidung treffen, zu nehmen oder weiterzugeben. Wenn Jian nimmt, erhalten sie 3 $ (d. h. der vorherige Vorrat von 2 $ + 1 $) und Izaz erhält 0 $. Wenn Jian jedoch weitergibt, kann Izaz jetzt entscheiden, ob sie nehmen oder weitergeben soll, und so weiter. Wenn beide Spieler immer weitergeben, erhalten sie am Ende des Spiels jeweils eine Auszahlung von 100 $.

Der Sinn des Spiels ist, dass, wenn Izaz und Jian beide kooperieren und bis zum Ende des Spiels weitergeben, sie die maximale Auszahlung von jeweils 100 $ erhalten. Wenn sie jedoch dem anderen Spieler misstrauen und erwarten, dass er bei der ersten Gelegenheit „nimmt“, sagt das Nash-Gleichgewicht voraus, dass die Spieler den niedrigstmöglichen Anspruch (in diesem Fall 1 $) nehmen.

Das Nash-Gleichgewicht dieses Spiels, bei dem kein Spieler einen Anreiz hat, von seiner gewählten Strategie abzuweichen, nachdem die Wahl des Gegners berücksichtigt wurde, legt nahe, dass der erste Spieler den Topf in der allerersten Runde des Spiels nehmen würde. In der Realität tun dies jedoch relativ wenige Spieler. Dadurch erhalten sie eine höhere Auszahlung als die durch die Gleichgewichtsanalyse vorhergesagte.4

Lösung sequentieller Spiele: Techniken mit Rückwärtsinduktion

Nachfolgend ist ein einfaches sequentielles Spiel zwischen zwei Spielern dargestellt. Die Bezeichnungen für Spieler 1 und Spieler 2 zeigen die Informationsmengen für jeden. Die Zahlen in Klammern am unteren Ende des Baums sind die Auszahlungen an den jeweiligen Punkten. Das Spiel ist auch sequentiell, sodass Spieler 1 die erste Entscheidung trifft (links oder rechts) und Spieler 2 seine Entscheidung nach Spieler 1 trifft (oben oder unten).

Julie Bang / Investopedia

Rückwärtsinduktion verwendet wie alle Spieltheorie die Annahmen von Rationalität und Maximierung, was bedeutet, dass Spieler 2 seine Auszahlung in jeder gegebenen Situation maximieren wird. An jeder Informationsmenge haben wir zwei Optionen, insgesamt vier. Indem wir die Optionen eliminieren, die Spieler 2 nicht wählen wird, können wir unseren Baum eingrenzen. Auf diese Weise markieren wir die Linien in Blau, die die Auszahlung des Spielers an der gegebenen Informationsmenge maximieren.

Julie Bang / Investopedia

Nach dieser Reduzierung kann Spieler 1 seine Auszahlungen maximieren, da die Entscheidungen von Spieler 2 nun bekannt sind. Das Ergebnis ist ein Gleichgewicht, das durch Rückwärtsinduktion gefunden wurde: Spieler 1 wählt „rechts“ und Spieler 2 wählt „oben“. Nachfolgend ist die Lösung des Spiels mit dem Gleichgewichtspfad fett dargestellt.

Julie Bang / Investopedia

Zum Beispiel könnte man leicht ein Spiel ähnlich dem obigen mit Unternehmen als Spieler aufstellen. Dieses Spiel könnte Produktveröffentlichungsszenarien beinhalten. Wenn Unternehmen 1 ein Produkt veröffentlichen möchte, was könnte Unternehmen 2 als Reaktion tun? Wird Unternehmen 2 ein ähnliches Konkurrenzprodukt veröffentlichen? Durch die Prognose der Verkäufe dieses neuen Produkts in verschiedenen Szenarien können wir ein Spiel aufstellen, um vorherzusagen, wie sich Ereignisse entwickeln könnten. Nachfolgend ist ein Beispiel, wie man ein solches Spiel modellieren könnte.

Julie Bang / Investopedia

Wie funktioniert Rückwärtsinduktion?

Bei der Rückwärtsinduktion beginnt man mit der letzten Handlung des letzten Spielers des Spiels und schließt von diesem Punkt rückwärts. Wenn man sich die optimale Handlung des letzten Spielers vorstellen kann, kann man die optimale Handlung des vorletzten Spielers ableiten und so weiter den Entscheidungsbaum hinauf, bis man zur ersten Handlung des ersten Spielers gelangt. Rückwärtsinduktion setzt Spielerrationalität und vollständige Information voraus und funktioniert am besten für sequentielle Spiele.

Was ist der Unterschied zwischen Rückwärtsinduktion und Vorwärtsinduktion?

Rückwärtsinduktion geht davon aus, dass alle zukünftigen Handlungen jedes Spielers rational und auf maximale Auszahlung optimiert sein werden, ohne frühere Handlungen zu berücksichtigen, und entwirft eine Strategie, die rückwärts von der letzten optimalen Handlung arbeitet. Vorwärtsinduktion geht davon aus, dass alle früheren Handlungen jedes Spielers rational waren, und entwirft eine Strategie basierend auf Vorhersagen über zukünftige Handlungen.5

Was ist ein Nachteil der Rückwärtsinduktion?

Der Hauptnachteil der Rückwärtsinduktion ist, dass sie Rationalität bei jedem Spieler voraussetzt – aber im wirklichen Leben sind Menschen nicht immer rational. Rationale Entscheidungen zu erwarten, bringt nicht immer den größeren Gewinn, weil andere Spieler möglicherweise auf unglaubliche vs. glaubwürdige Drohungen reagieren. Mit anderen Worten, sie handeln irrational.6