Stochastische Volatilität

Wichtige Erkenntnisse

• Stochastische Volatilität geht davon aus, dass die Volatilität des Vermögenspreises im Laufe der Zeit schwankt, anders als die Annahme konstanter Volatilität im Black-Scholes-Modell.
• Stochastische Modelle wie das Heston-Modell erlauben Schwankungen der Vermögensvolatilität und verbessern so die Genauigkeit von Optionspreisprognosen.
• Diese Modelle erkennen den zufälligen Charakter der Volatilität an, berücksichtigen aber Abhängigkeiten zwischen aufeinanderfolgenden Preisänderungen.
• Das Heston-Modell, ein bekanntes stochastisches Modell, berücksichtigt die Korrelation zwischen Preis und Volatilität eines Vermögenswerts sowie die Mean-Reversion.
• Stochastische Volatilitätsmodelle sind entscheidend für die genauere Preisgestaltung von Optionen unter sich ändernden Marktbedingungen.

Was ist stochastische Volatilität?

Stochastische Volatilität (SV) ist die Variation der Volatilität des Preises eines Vermögenswerts im Laufe der Zeit, im Gegensatz zur Annahme konstanter Volatilität in traditionellen Modellen wie Black Scholes. Stochastische Volatilitätsmodelle bieten eine genauere Darstellung des Marktverhaltens, was sowohl Anleger als auch Finanzanalysten anspricht.

Wir werden uns mit praktischen Anwendungen dieser Modelle befassen und erklären, warum sie für präzise finanzielle Bewertungen unerlässlich sind.

Wie sich stochastische Volatilität auf die Vermögenspreisbildung auswirkt

Das Wort „stochastisch“ bedeutet, dass eine Variable zufällig bestimmt wird und nicht genau vorhergesagt werden kann. Stattdessen kann jedoch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ermittelt werden. Im Zusammenhang mit der Finanzmodellierung iteriert die stochastische Modellierung mit aufeinanderfolgenden Werten einer Zufallsvariablen, die voneinander abhängig sind. Was nicht unabhängig bedeutet: Während sich der Wert der Variablen zufällig ändert, hängt sein Ausgangspunkt von seinem vorherigen Wert ab, der wiederum von seinem vorherigen Wert abhing, und so weiter; dies beschreibt einen sogenannten Random Walk.

Beispiele für stochastische Modelle sind das Heston-Modell und das SABR-Modell zur Preisgestaltung von Optionen sowie das GARCH-Modell, das bei der Analyse von Zeitreihendaten verwendet wird, bei denen angenommen wird, dass der Varianzfehler seriell autokorreliert ist.

Die Volatilität eines Vermögenswerts ist eine Schlüsselkomponente bei der Preisgestaltung von Optionen. Stochastische Volatilitätsmodelle wurden aus der Notwendigkeit entwickelt, das Black-Scholes-Modell zur Preisgestaltung von Optionen zu modifizieren, das die Tatsache, dass die Volatilität des Preises des zugrunde liegenden Wertpapiers schwanken kann, nicht effektiv berücksichtigte. Das Black-Scholes-Modell trifft stattdessen die vereinfachende Annahme, dass die Volatilität des zugrunde liegenden Wertpapiers konstant sei. Stochastische Volatilitätsmodelle korrigieren dies, indem sie die Preisvolatilität des zugrunde liegenden Wertpapiers als Zufallsvariable schwanken lassen. Indem sie den Preis variieren lassen, verbessern die stochastischen Volatilitätsmodelle die Genauigkeit von Berechnungen und Prognosen.

Erkundung des Heston-Stochastic-Volatility-Modells

Das Heston-Modell ist ein stochastisches Volatilitätsmodell, das 1993 vom Finanzwissenschaftler Steven Heston entwickelt wurde. Das Modell geht davon aus, dass die Volatilität mehr oder weniger zufällig ist, und weist die folgenden Eigenschaften auf, die es von anderen stochastischen Volatilitätsmodellen unterscheiden:

Es berücksichtigt die Korrelation zwischen dem Preis eines Vermögenswerts und seiner Volatilität.

Es versteht Volatilität als Mean-Reversion.

Es liefert eine geschlossene Lösung, was bedeutet, dass die Antwort aus einer anerkannten Menge mathematischer Operationen abgeleitet wird.

Es erfordert nicht, dass der Aktienkurs einer logarithmischen Normalverteilung folgt.

Das Heston-Modell beinhaltet auch ein Volatility Smile, das es ermöglicht, mehr implizite Volatilität auf Abwärts-Strike im Verhältnis zu Aufwärts-Strikes zu gewichten. Der Name „Smile“ kommt von der konkaven Form dieser Volatilitätsunterschiede, wenn sie grafisch dargestellt werden.

Handel

Optionen und Derivate

Fortgeschrittene Konzepte