A-priori-Wahrscheinlichkeit

Wichtige Erkenntnisse

• Die Prior-Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses basierend auf vorhandenem Wissen vor neuen Daten.
• Der Satz von Bayes passt die Prior-Wahrscheinlichkeit an, um mit neuen Daten eine Posterior-Wahrscheinlichkeit zu erstellen.
• Die Posterior-Wahrscheinlichkeit ist die aktualisierte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nach Berücksichtigung neuer Informationen.
• Im Finanzwesen kann der Satz von Bayes helfen, Aktienrenditen und Kreditrisiken zu bewerten.
• Algorithmen des maschinellen Lernens nutzen den Satz von Bayes, um Wahrscheinlichkeiten mit neuen Trainingsdaten zu aktualisieren.

Was ist die Prior-Wahrscheinlichkeit?

Die Prior-Wahrscheinlichkeit ist in der Bayes-Statistik die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, bevor neue Daten gesammelt werden. Dies ist die beste rationale Einschätzung der Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses auf der Grundlage des aktuellen Wissens vor der Durchführung eines Experiments.

Die Prior-Wahrscheinlichkeit kann mit der Posterior-Wahrscheinlichkeit verglichen werden.

Tieferer Einblick in die Prior-Wahrscheinlichkeit in der Bayes-Statistik

Die Prior-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird revidiert, sobald neue Daten oder Informationen verfügbar werden, um ein genaueres Maß für ein potenzielles Ergebnis zu erhalten. Diese revidierte Wahrscheinlichkeit wird zur Posterior-Wahrscheinlichkeit und wird mit dem Satz von Bayes berechnet. In statistischer Hinsicht ist die Posterior-Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, gegeben dass Ereignis B eingetreten ist.

Veranschaulichendes Beispiel für Prior-Wahrscheinlichkeit

Zum Beispiel sind drei Hektar Land mit den Bezeichnungen A, B und C versehen. Ein Hektar hat Ölreserven unter seiner Oberfläche, die anderen beiden nicht. Die Prior-Wahrscheinlichkeit, dass Öl auf Hektar C gefunden wird, beträgt ein Drittel oder 0,333. Wenn jedoch ein Bohrtest auf Hektar B durchgeführt wird und die Ergebnisse zeigen, dass dort kein Öl vorhanden ist, dann beträgt die Posterior-Wahrscheinlichkeit, dass Öl auf den Hektar A und C gefunden wird, 0,5, da jeder Hektar eine von zwei Chancen hat.

Tipp

Der Satz von Bayes wird häufig auf Data Mining und maschinelles Lernen angewendet.

Anwendung des Satzes von Bayes zur Aktualisierung von Wahrscheinlichkeiten

P(A∣B) = P(A∩B)P(B) = P(A) × P(B∣A)P(B)wobei:P(A) = die Prior-Wahrscheinlichkeit des Eintretens von AP(A∣B)= die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, gegeben dass B eintrittP(B∣A) = die bedingte Wahrscheinlichkeit von B, gegeben dass A eintrittP(B) = die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von B\begin{aligned}&P(A\mid B)\ =\ \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\ = \ \frac{P(A)\ \times\ P(B\mid A)}{P(B)}\\&\textbf{wobei:}\\&P(A)\ =\ \text{die Prior-Wahrscheinlichkeit des Eintretens von }A\text{}\\&P(A\mid B)=\ \text{die bedingte Wahrscheinlichkeit von }A\\&\qquad\qquad\quad\ \text{ gegeben dass }B\text{ eintritt}\\&P(B\mid A)\ = \ \text{die bedingte Wahrscheinlichkeit von }B\\&\qquad\qquad\quad\ \ \text{ gegeben dass }A\text{ eintritt}\\&P(B)\ =\ \text{die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von }B\text{}\end{aligned}​P(A∣B) = P(B)P(A∩B)​ = P(B)P(A) × P(B∣A)​wobei:P(A) = die Prior-Wahrscheinlichkeit des Eintretens von AP(A∣B)= die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, gegeben dass B eintrittP(B∣A) = die bedingte Wahrscheinlichkeit von B, gegeben dass A eintrittP(B) = die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von B​

Wenn wir an der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses interessiert sind, von dem wir frühere Beobachtungen haben, nennen wir dies die Prior-Wahrscheinlichkeit. Wir nennen dieses Ereignis A und seine Wahrscheinlichkeit P(A). Wenn es ein zweites Ereignis gibt, das P(A) beeinflusst, welches wir Ereignis B nennen, dann möchten wir wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit von A ist, gegeben dass B eingetreten ist. In der probabilistischen Notation ist dies P(A|B) und wird als Posterior-Wahrscheinlichkeit oder revidierte Wahrscheinlichkeit bezeichnet. Dies liegt daran, dass es nach dem ursprünglichen Ereignis aufgetreten ist, daher das 'post' in posterior. So ermöglicht uns der Satz von Bayes auf einzigartige Weise, unsere früheren Überzeugungen mit neuen Informationen zu aktualisieren.

Was ist der Unterschied zwischen Prior- und Posterior-Wahrscheinlichkeit?

Die Prior-Wahrscheinlichkeit repräsentiert das ursprünglich Geglaubte, bevor neue Beweise eingeführt werden, und die Posterior-Wahrscheinlichkeit berücksichtigt diese neuen Informationen.

Wie wird der Satz von Bayes im Finanzwesen verwendet?

Im Finanzwesen kann der Satz von Bayes verwendet werden, um eine frühere Überzeugung zu aktualisieren, sobald neue Informationen vorliegen. Dies kann auf Aktienrenditen, beobachtete Volatilität usw. angewendet werden. Der Satz von Bayes kann auch verwendet werden, um das Risiko der Kreditvergabe an potenzielle Kreditnehmer zu bewerten, indem die Wahrscheinlichkeit eines Zahlungsausfalls auf der Grundlage früherer Erfahrungen aktualisiert wird.

Wie wird der Satz von Bayes im maschinellen Lernen verwendet?

Der Satz von Bayes bietet eine nützliche Methode, um über die Beziehung zwischen einem Datensatz und einer Wahrscheinlichkeit nachzudenken. Daher ist er nützlich beim Anpassen von Daten und Trainieren von Algorithmen, die ihre Posterior-Wahrscheinlichkeiten nach jeder Trainingsrunde aktualisieren können.

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