Bayes-Theorem

Wichtige Erkenntnisse

• Bayes' Theorem kann verwendet werden, um eine Wahrscheinlichkeitsanalyse basierend auf neuen Informationen zu überarbeiten.
• Es wird häufig im Finanzwesen eingesetzt, um Risikobewertungen zu berechnen oder zu aktualisieren.
• Es wird in vielen anderen Bereichen weit verbreitet eingesetzt, wie z. B. bei der Analyse medizinischer Testergebnisse.

Was ist Bayes' Theorem?

Bayes' Theorem ist eine mathematische Formel, die die bedingte Wahrscheinlichkeit bestimmt, also die Wahrscheinlichkeit, dass etwas passiert, basierend auf dem, was bereits in ähnlichen Situationen passiert ist. Es kann helfen, eine bestehende Vorhersage oder Theorie angesichts neuer Beweise zu überarbeiten oder zu aktualisieren. Das Theorem kann im Finanzwesen verwendet werden, um das Kreditrisiko für einen potenziellen Kreditnehmer zu bewerten oder neu zu bewerten. Benannt nach dem britischen Mathematiker Thomas Bayes aus dem 18. Jahrhundert, wird das Theorem auch als Bayes' Rule oder Bayes' Law bezeichnet und ist die Grundlage der Bayesian statistics.

Investopedia / Lara Antal

Bayes' Theorem verstehen

Die Anwendungen von Bayes' Theorem sind weit verbreitet und nicht auf das Finanzwesen beschränkt. Zum Beispiel kann Bayes' theorem verwendet werden, um die Genauigkeit medizinischer Testergebnisse zu bestimmen, indem die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Person eine Krankheit hat, und die allgemeine Genauigkeit des Tests berücksichtigt werden. Bayes' theorem basiert auf der Einbeziehung von A-priori-Wahrscheinlichkeitsverteilungen, um A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten zu erzeugen.

In Bayesian statistical inference ist die A-priori-Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses vor der Erhebung neuer Daten. Sie stellt die beste rationale Bewertung der Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses auf der Grundlage des aktuellen Wissens dar, bevor ein Experiment durchgeführt wird.

Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit ist die überarbeitete Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses nach Berücksichtigung der neuen Informationen. Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit wird berechnet, indem die A-priori-Wahrscheinlichkeit mit Bayes' theorem aktualisiert wird. Anders ausgedrückt, die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A, gegeben dass Ereignis B eingetreten ist.

Besondere Überlegungen

Bayes' Theorem gibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auf der Grundlage neuer Informationen an, die mit diesem Ereignis zusammenhängen oder zusammenhängen könnten. Die Formel kann verwendet werden, um zu bestimmen, wie die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses durch hypothetische neue Informationen beeinflusst werden kann, unter der Annahme, dass sich die neuen Informationen als wahr erweisen.

Beispiel: Ein Kartenspiel

Betrachten Sie das Ziehen einer einzelnen Karte aus einem vollen Deck mit 52 Karten. Es gibt vier Könige, also ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Karte ein König ist, vier geteilt durch 52, was 1/13 oder etwa 7,69 % entspricht. Nehmen wir nun an, die ausgewählte Karte ist eine Bildkarte. Die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Karte ein König ist, gegeben dass es eine Bildkarte ist, ist vier geteilt durch 12, oder etwa 33,3 %, da es in einem Deck 12 Bildkarten gibt.

Formel für Bayes' Theorem

Beispiele für Bayes' Theorem

Im Folgenden finden Sie zwei Beispiele für Bayes' Theorem. Das erste Beispiel zeigt, wie die Formel aus einem Aktieninvestitionsbeispiel mit Amazon (AMZN) abgeleitet werden kann. Das zweite Beispiel wendet Bayes' Theorem auf pharmazeutische Arzneimitteltests an.

Ableitung der Formel des Bayes' Theorem

Bayes' Theorem folgt aus den Axiomen der bedingten Wahrscheinlichkeit, also der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis eingetreten ist. Ein einfaches Wahrscheinlichkeitsproblem könnte beispielsweise fragen: "What is the probability of Amazon's stock price falling?" Die bedingte Wahrscheinlichkeit geht noch einen Schritt weiter und fragt: "What is the probability of Amazon's stock price falling given that the Dow Jones Industrial Average (DJIA) index fell earlier?"

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, gegeben dass B eingetreten ist, kann wie folgt ausgedrückt werden:

Wenn A ist: "AMZN price falls" dann ist P(AMZN) die Wahrscheinlichkeit, dass AMZN fällt; und B ist: "The DJIA is already down," und P(DJIA) ist die Wahrscheinlichkeit, dass der DJIA gefallen ist; dann lautet der Ausdruck der bedingten Wahrscheinlichkeit: "the probability that AMZN drops given a DJIA decline is equal to the probability that AMZN price declines and DJIA declines over the probability of a decrease in the DJIA index."

P(AMZN and DJIA) ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B eintreten. Dies ist dasselbe wie die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, gegeben dass A eintritt, ausgedrückt als P(AMZN) x P(DJIA|AMZN). Die Tatsache, dass diese beiden Ausdrücke gleich sind, führt zu Bayes' Theorem, das wie folgt geschrieben wird:

P(AMZN) und P(DJIA) sind die Wahrscheinlichkeiten, dass Amazon und der Dow unabhängig voneinander gefallen sind.

Die Formel erklärt die Beziehung zwischen der Wahrscheinlichkeit der Hypothese vor dem Betrachten der Beweise, P(AMZN), und der Wahrscheinlichkeit der Hypothese nach Erhalt der Beweise, P(AMZN|DJIA), gegeben eine Hypothese für Amazon, gegeben Beweise im Dow.

Numerisches Beispiel für Bayes' Theorem

Als numerisches Beispiel stellen Sie sich einen Drogentest vor, der zu 98 % genau ist, d. h., er zeigt in 98 % der Fälle ein richtig-positives Ergebnis für jemanden, der die Droge konsumiert, und in 98 % der Fälle ein richtig-negatives Ergebnis für Nichtkonsumenten der Droge.

Nehmen Sie als Nächstes an, dass 0,5 % der Menschen die Droge konsumieren. Wenn eine zufällig ausgewählte Person positiv auf die Droge getestet wird, kann die folgende Berechnung durchgeführt werden, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass die Person tatsächlich ein Konsument der Droge ist, wobei die Begriffe wie folgt sind:

A = Wahrscheinlichkeit, dass ein positives Testergebnis wahr ist

B = Prozentsatz der Menschen, die die Droge konsumieren

A x B = die Wahrscheinlichkeit, dass ein positives Testergebnis wahr ist

( 1 - A ) x ( 1 - B ) = Wahrscheinlichkeit, dass ein negatives Testergebnis wahr ist

Die Formel würde wie folgt aussehen:

Mit den Werten ergibt sich die Berechnung wie folgt:

Bayes' Theorem zeigt, dass selbst wenn eine Person in diesem Szenario positiv getestet wird, die Wahrscheinlichkeit, dass die Person die Droge konsumiert, bei 19,76 % liegt, und die Wahrscheinlichkeit, dass sie es nicht tut, bei 80,24 %.

Wofür wird Bayes' Rule verwendet?

Bayes' rule wird verwendet, um eine Wahrscheinlichkeit mit einer aktualisierten Bedingungsvariablen zu aktualisieren. Investmentanalysten verwenden es, um Wahrscheinlichkeiten an der Börse vorherzusagen, aber es wird auch in vielen anderen Kontexten verwendet.

Warum ist Bayes' Theorem so leistungsstark?

Bayes' Theorem zeigt, dass zwei Wahrscheinlichkeiten mathematisch gleich sind. Ob in der Statistik, beim Investieren oder in anderen Kontexten verwendet, Bayes' Theorem ermöglicht es Ihnen, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu betrachten. Das bedeutet, dass Sie die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses ermitteln können, wenn Sie eine zusätzliche Information oder eine Bedingung berücksichtigen.

Woher wissen Sie, wann Sie Bayes' Theorem anwenden sollen?

Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses unter der Bedingung bestimmen müssen, dass eine andere Bedingung vorliegt, die das Eintreten beeinflussen kann, würden Sie Bayes' theorem anwenden.