Bestimmtheitsmaß

Was ist das Bestimmtheitsmaß?

Das Bestimmtheitsmaß, auch als R-Quadrat bekannt, quantifiziert das Ausmaß, in dem die Kursänderungen einer Aktie durch Bewegungen in ihrem zugehörigen Aktienindex beeinflusst werden. Anleger verwenden dieses Maß, um zu verstehen, welcher Prozentsatz der Kursbewegung einer Aktie durch breitere Bewegungen dieses Index erklärt werden kann.

Wichtige Erkenntnisse

• Das Bestimmtheitsmaß ist ein komplexes Konzept, das sich auf die statistische Analyse von Daten und die Finanzmodellierung konzentriert.
• Es wird verwendet, um die Beziehung zwischen einer unabhängigen und einer abhängigen Variable zu erklären.
• Das Bestimmtheitsmaß wird aufgrund des statistischen Werts, den es darstellt, üblicherweise als R-Quadrat (oder r²) bezeichnet.
• Dieses Maß wird als Wert zwischen 0,0 und 1,0 dargestellt, wobei ein Wert von 1,0 eine perfekte Korrelation anzeigt. Dies ist ein zuverlässiges Modell für zukünftige Prognosen.
• Ein Wert von 0,0 deutet darauf hin, dass die Vermögenspreise keine Funktion der Abhängigkeit vom Index sind.
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• Investopedia / Julie Bang

Das Bestimmtheitsmaß verstehen

Das Bestimmtheitsmaß ist eine Kennzahl, die verwendet wird, um zu erklären, wie stark die Variabilität eines Faktors durch seine Beziehung zu einem anderen Faktor verursacht wird. Diese Korrelation wird als Wert zwischen 0,0 und 1,0 bzw. 0 % und 100 % dargestellt.

Ein Wert von 1,0 zeigt eine 100%ige Preiskorrelation an und ist ein zuverlässiges Modell für zukünftige Prognosen. Ein Wert von 0,0 deutet darauf hin, dass das Modell zeigt, dass die Kurse keine Funktion der Abhängigkeit vom Index sind.1

Ein Wert von 0,20 deutet darauf hin, dass 20 % der Kursbewegung eines Vermögenswerts durch den Index erklärt werden können. Ein Wert von 0,50 gibt an, dass 50 % seiner Kursbewegung dadurch erklärt werden können.

Wichtig

Das Bestimmtheitsmaß ist das Quadrat des Korrelationskoeffizienten, in der Statistik auch als „r“ bekannt. Der Wert „r“ kann eine negative Zahl ergeben, aber r² kann keine negative Zahl ergeben, da r² das Ergebnis von „r“ multipliziert mit sich selbst bzw. quadriert ist. Das Quadrat einer negativen Zahl ist immer ein positiver Wert.2

Berechnung des Bestimmtheitsmaßes

Die Berechnung des Bestimmtheitsmaßes erfolgt durch die Erstellung eines Streudiagramms der Daten und einer Trendlinie.

Beispielsweise könnten Sie die Kurse wie in dieser Tabelle dargestellt erfassen, um die Schlusskurse des S&P 500 und der Apple-Aktie (AAPL) für Handelstage vom 21. Dezember 2022 bis zum 20. Januar 2023 darzustellen (Apple ist im S&P 500 gelistet).34

Anschließend würden Sie ein Streudiagramm erstellen. Wie gut die Daten auf einem Graphen zum Regressionsmodell passen, wird als Anpassungsgüte bezeichnet. Sie misst den Abstand zwischen einer Trendlinie und allen über das Diagramm verstreuten Datenpunkten.

Tabellenkalkulationen

Die meisten Tabellenkalkulationsprogramme verwenden dieselbe Formel zur Berechnung des r2 eines Datensatzes. Wenn sich die Daten in den Spalten A und B Ihres Blattes befinden:

Sie erhalten ein r2 von 0,347, wenn Sie diese Formel verwenden und die entsprechenden Zellen für die S&P 500- und Apple-Kurse markieren, was darauf hindeutet, dass die beiden Kurse weniger korreliert sind, als wenn das r2 zwischen 0,5 und 1,0 läge.

Manuelle Berechnung

Die manuelle Berechnung des Bestimmtheitsmaßes umfasst mehrere Schritte. Erfassen Sie zunächst die Daten wie in der vorherigen Tabelle, berechnen Sie dann alle benötigten Werte wie in dieser Tabelle dargestellt:43

x = S&P 500 täglicher Schlusskurs

y = APPL täglicher Schlusskurs

Verwenden Sie diese Formel und setzen Sie die Werte für jede Zeile der Tabelle ein, wobei n der Anzahl der entnommenen Stichproben entspricht. Das sind in diesem Fall 20:

r2=(n(∑xy)−(∑x)(∑y)[n∑x2−(∑x)2]×[n∑y2−(∑y)2])2\begin{aligned}&r ^ 2 = \Big ( \frac {n ( \sum xy) - ( \sum x )( \sum y ) }{ \sqrt { [ n \sum x ^ 2 - ( \sum x ) ^ 2 ] } \times \sqrt { [ n \sum y ^ 2 - ( \sum y ) ^ 2 ] } } \Big ) ^ 2 \\\end{aligned}​r2=([n∑x2−(∑x)2]​×[n∑y2−(∑y)2]​n(∑xy)−(∑x)(∑y)​)2​

Wobei √ die Quadratwurzel des Produkts in den darauf folgenden Klammern darstellt.

r2=(20(10,262,772.73)−(77,781.69)(2,638.05)[20(302,584,424)−(77,781.69)2]×[20(348,307.23)−(2,638.05)2])2\begin{aligned}&r ^ 2 = \Big ( \tiny { \frac {20 ( 10,262,772.73) - ( 77,781.69 )( 2,638.05 ) }{ \sqrt { [ 20 ( 302,584,424 ) - ( 77,781.69 ) ^ 2 ] } \times \sqrt { [ 20 ( 348,307.23 ) - ( 2,638.05 ) ^ 2 ] } } } \Big ) ^ 2 \\\end{aligned}​r2=([20(302,584,424)−(77,781.69)2]​×[20(348,307.23)−(2,638.05)2]​20(10,262,772.73)−(77,781.69)(2,638.05)​)2​

Sie haben nun:

1.(20×10,262,772.73)−(77,781.69×2,638.05)=63,467.322.((20×302,584,424)−(77,781.69)2=1,697,180.74=1,302.763.((20×10,262,772.73)−(2,638.05)2=6,836.85=82.69\begin{aligned}&1. \tiny { ( 20 \times 10,262,772.73 ) - ( 77,781.69 \times 2,638.05 ) = 63,467.32 } \\&2. \tiny { (\sqrt { ( 20 \times 302,584,424 ) - ( 77,781.69 ) ^ 2 } = \sqrt { 1,697,180.74 } = 1,302.76 } \\&3. \tiny { (\sqrt { ( 20 \times 10,262,772.73 ) - ( 2,638.05 ) ^ 2 } = \sqrt { 6,836.85 } = 82.69 }\\\end{aligned}​1.(20×10,262,772.73)−(77,781.69×2,638.05)=63,467.322.((20×302,584,424)−(77,781.69)2=1,697,180.74=1,302.763.((20×10,262,772.73)−(2,638.05)2=6,836.85=82.69​

Multiplizieren Sie nun Schritt zwei und drei, dividieren Sie Schritt eins durch das Ergebnis und quadrieren Sie es:

(63,467.321,302.76×82.69)2=0.347\begin{aligned}&\Big ( \frac { 63,467.32 }{ 1,302.76 \times 82.69 } \Big ) ^ 2 = 0.347\end{aligned}​(1,302.76×82.6963,467.32​)2=0.347​

Sie können sehen, wie dies sehr mühsam werden kann und viel Raum für Fehler lässt, insbesondere wenn Sie mehr als ein paar Wochen Handelsdaten verwenden.

Interpretation des Bestimmtheitsmaßes

Sobald Sie das Bestimmtheitsmaß haben, verwenden Sie es, um zu bewerten, wie eng die Kursbewegungen des von Ihnen bewerteten Vermögenswerts mit den Kursbewegungen eines Index oder einer Benchmark übereinstimmen. Das Bestimmtheitsmaß für den Zeitraum betrug im Beispiel von Apple und S&P 500 0,347.

Tipp

Apple ist in vielen Indizes gelistet, sodass Sie das r2 berechnen können, um festzustellen, ob es mit den Kursbewegungen eines anderen Index korrespondiert.

Ein Bestimmtheitsmaß von 0,347 zeigt an, dass die Kursbewegungen der Apple-Aktie etwas mit dem Index korreliert sind, da 1,0 eine hohe Korrelation und 0,0 keine Korrelation darstellt.

Ein zu berücksichtigender Aspekt ist, dass R-Quadrat Analysten nicht sagt, ob der Wert des Bestimmtheitsmaßes an sich gut oder schlecht ist. Es liegt in ihrem Ermessen, die Bedeutung dieser Korrelation zu bewerten und wie sie in zukünftigen Trendanalysen angewendet werden kann.

Wie interpretiert man ein Bestimmtheitsmaß?

Das Bestimmtheitsmaß zeigt den Grad der Korrelation zwischen einer abhängigen und einer unabhängigen Variablen an. Es wird auch als r2 oder R-Quadrat bezeichnet. Der Wert sollte zwischen 0,0 und 1,0 liegen. Je näher er bei 0,0 liegt, desto weniger korreliert ist der abhängige Wert. Je näher er bei 1,0 liegt, desto korrelierter ist der Wert.1

Was sagt Ihnen R-Quadrat in der Regression?

R-Quadrat in der Regression sagt Ihnen, ob eine Abhängigkeit zwischen zwei Werten besteht und wie stark ein Wert von dem anderen abhängt.

Was ist, wenn das Bestimmtheitsmaß größer als 1 ist?

Das Bestimmtheitsmaß kann nicht größer als eins sein, da die Formel immer einen Wert zwischen 0,0 und 1,0 ergibt. Etwas ist falsch, wenn es größer oder kleiner als diese Zahlen ist.1