Binomialbaum

Wichtige Erkenntnisse

• Ein Binomialbaum stellt mögliche Preise dar, die eine Option zu verschiedenen Zeitpunkten annehmen kann.
• Er hilft bei der Bewertung amerikanischer und eingebetteter Optionen und zeigt, wann eine Option ausgeübt werden könnte.
• Das Modell geht von zwei potenziellen Preisen, konstanten Zinssätzen und keinen Dividenden aus.
• Im Vergleich zum Black Scholes Modell ist es langsamer, aber oft genauer für längerfristige Optionen.

Was ist ein Binomialbaum?

Ein Binomialbaum ist eine grafische Darstellung möglicher innerer Werte, die eine Option an verschiedenen Knoten oder Zeitpunkten annehmen kann. Der Wert der Option hängt vom zugrunde liegenden Aktien- oder Anleihekurs ab, und der Wert der Option an einem Knoten hängt von der Wahrscheinlichkeit ab, dass der Preis des Basiswerts an einem bestimmten Knoten entweder fällt oder steigt. Er ist langsamer als das Black Scholes Modell, aber im Allgemeinen genauer für längerfristige Optionen.

Die Mechanik eines Binomialbaums verstehen

Ein Binomialbaum ist ein nützliches Werkzeug bei der Bewertung amerikanischer Optionen und eingebetteter Optionen. Seine Einfachheit ist sowohl ein Vorteil als auch ein Nachteil. Der Baum ist leicht zu modellieren, aber er vereinfacht die möglichen Werte des Basiswerts zu sehr.

In einem Binomialbaum-Modell kann der Basiswert nur genau einen von zwei möglichen Werten haben, was nicht realistisch ist, da Vermögenswerte jeden beliebigen Wert innerhalb einer bestimmten Spanne annehmen können. Ein Binomialbaum ermöglicht es Anlegern, zu beurteilen, wann und ob eine Option ausgeübt wird. Eine Option wird eher ausgeübt, wenn sie einen positiven Wert hat.

Wichtige Annahmen und Einschränkungen des Binomialbaum-Modells

Das Binomial-Optionspreismodell (BOPM) bewertet Optionen, indem zunächst ein Binomialbaum erstellt wird. Das BOPM bewertet einen Vermögenswert über die Zeit hinweg anstatt zu einem einzigen Zeitpunkt.

Das Binomialmodell geht von nur zwei möglichen Preisänderungen, keinen Dividenden, konstanten Zinssätzen und keinen Steuern oder Transaktionskosten aus.

Vergleich von Binomialbaum- und Black-Scholes-Optionspreismodellen

Das Black Scholes Modell ist eine weitere Methode zur Bewertung von Optionen. Die Berechnung von Preisen mit einem Binomialbaum ist langsamer als mit Black Scholes, aber oft genauer – insbesondere für langfristige Optionen und solche mit Dividenden.

Das Black Scholes Modell ist zuverlässiger bei komplizierten Optionen und solchen mit großer Unsicherheit. Bei europäischen Optionen ohne Dividenden konvergieren die Ergebnisse des Binomialmodells und des Black Scholes Modells, wenn die Zeitschritte zunehmen.

Beispiel eines Binomialbaums

Angenommen, eine Aktie hat einen Preis von $100, einen Optionsausübungspreis von $100, einjähriges Verfallsdatum und einen Zinssatz (r) von 5%.

Am Ende des Jahres besteht eine 50-prozentige Wahrscheinlichkeit, dass die Aktie auf $125 steigt, und eine 50-prozentige Wahrscheinlichkeit, dass sie auf $90 fällt. Wenn die Aktie auf $125 steigt, beträgt der Wert der Option $25 ($125 Aktienkurs minus $100 Ausübungspreis), und wenn sie auf $90 fällt, ist die Option wertlos.

Der Optionswert beträgt:

Option value = [(probability of rise * up value) + (probability of drop * down value)] / (1 + r) = [(0.50 * $25) + (0.50 * $0)] / (1 + 0.05) = $11.90.