Blackscholes

Black-Scholes-Modell: Was es ist, wie es funktioniert, und die Optionsformel

Wichtige Erkenntnisse

Das Black-Scholes-Modell ist auch als Black-Scholes-Merton- oder BSM-Modell bekannt.
Es handelt sich um eine Differentialgleichung, die häufig zur Bewertung von Optionskontrakten verwendet wird.
Das Black-Scholes-Modell benötigt fünf Eingabevariablen: den Ausübungspreis einer Option, den aktuellen Aktienkurs, die Restlaufzeit, den risikofreien Zinssatz und die Volatilität.
Das Black-Scholes-Modell ist in der Regel genau, trifft jedoch bestimmte Annahmen, die zu Vorhersagen führen können, die von realen Ergebnissen abweichen.
Das standardmäßige BSM-Modell wird nur zur Bewertung europäischer Optionen verwendet, da es nicht berücksichtigt, dass amerikanische Optionen vor dem Verfallsdatum ausgeübt werden könnten.
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Was ist das Black-Scholes-Modell?

Das Black-Scholes-Modell, auch bekannt als Black-Scholes-Merton (BSM)-Modell, ist eines der wichtigsten Konzepte der modernen Finanztheorie. Es hilft Händlern und Anlegern, den fairen Wert eines Optionskontrakts zu bestimmen.

Diese mathematische Gleichung schätzt den theoretischen Wert von Derivaten auf der Grundlage anderer Anlageinstrumente. Sie berücksichtigt die Auswirkungen der Zeit und anderer Risikofaktoren in ihrer Berechnung.

Es wurde 1973 entwickelt und gilt immer noch als eine der besten Methoden zur Bewertung eines Optionskontrakts.

Investopedia / Jiaqi Zhou

Geschichte des Black-Scholes-Modells

Das von Fischer Black, Robert Merton und Myron Scholes entwickelte Black-Scholes-Modell war die erste weit verbreitete mathematische Methode zur Berechnung des theoretischen Werts eines Optionskontrakts.

Es verwendet aktuelle Aktienkurse, erwartete Dividenden, den Ausübungspreis der Option, erwartete Zinssätze, die Restlaufzeit und die erwartete Volatilität.

Die ursprüngliche Gleichung wurde in Black and Scholes' 1973 erschienenem Artikel "The Pricing of Options and Corporate Liabilities" vorgestellt, der im Journal of Political Economy veröffentlicht wurde.1

Robert C. Merton half bei der Bearbeitung des Artikels. Er veröffentlichte später im selben Jahr seinen eigenen Artikel "Theory of Rational Option Pricing" im The Bell Journal of Economics and Management Science. Er erweiterte das mathematische Verständnis und die Anwendungen des Modells und prägte den Begriff "Black-Scholes-Theorie der Optionspreisbildung".2

Scholes und Merton erhielten 1997 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften für ihre Arbeit zur Entwicklung "einer neuen Methode zur Bestimmung des Werts von Derivaten".3

Black war zwei Jahre zuvor gestorben, sodass er den Nobelpreis nicht erhalten konnte, da dieser nicht posthum verliehen wird. Das Nobelkomitee würdigte jedoch seine Rolle bei der Entwicklung des Black-Scholes-Modells.3

Wie das Black-Scholes-Modell funktioniert

Black-Scholes geht davon aus, dass Instrumente wie Aktien oder Terminkontrakte eine lognormale Preisverteilung aufweisen, die einem Random Walk mit konstantem Drift und konstanter Volatilität folgt. Die Gleichung nutzt diese Annahme und berücksichtigt andere wichtige Variablen, um den Preis einer europäischen Call-Option abzuleiten.

Die Black-Scholes-Gleichung benötigt sechs Variablen:4

Volatilität

Der Preis des Basiswerts

Der Ausübungspreis der Option

Die Zeit bis zum Verfall der Option

Der risikofreie Zinssatz

Die Art der Option (Call oder Put)

Es ist theoretisch möglich, dass Optionsverkäufer mit diesen Variablen rationale Preise für die von ihnen verkauften Optionen festlegen.

Das Modell sagt voraus, dass der Preis stark gehandelter Vermögenswerte einer geometrischen Brownschen Bewegung mit konstantem Drift und konstanter Volatilität folgt.

Wenn es auf eine Aktienoption angewendet wird, berücksichtigt es die konstante Preisschwankung der Aktie, den Zeitwert des Geldes, den Ausübungspreis der Option und die Zeit bis zum Verfall der Option.

Kurzer Fakt

Das Black-Scholes-Modell wird oft dem Binomialmodell oder einer Monte-Carlo-Simulation gegenübergestellt.

Annahmen des Black-Scholes-Modells

Das Black-Scholes-Modell trifft bestimmte Annahmen:

Während der Laufzeit der Option werden keine Dividenden gezahlt.

Märkte sind zufällig, da Marktbewegungen nicht vorhergesagt werden können.

Beim Kauf der Option fallen keine Transaktionskosten an.

Der risikofreie Zinssatz und die Volatilität des Basiswerts sind bekannt und konstant.

Die Renditen des Basiswerts sind normalverteilt.

Die Option ist europäisch und kann nur bei Verfall ausgeübt werden.

Das ursprüngliche Black-Scholes-Modell berücksichtigte nicht die Auswirkungen von Dividenden, die während der Laufzeit der Option gezahlt werden, aber das Modell wird häufig angepasst, um Dividenden zu berücksichtigen, indem der Wert der zugrunde liegenden Aktie zum Ex-Dividenden-Datum ermittelt wird.

Das Modell wird auch von vielen Optionsverkäufern (Market Makern) modifiziert, um die Auswirkung von Optionen zu berücksichtigen, die vor Verfall ausgeübt werden können.

Wichtig

Unternehmen verwenden alternativ ein Binomial- oder Trinomialmodell oder das Bjerksund-Stensland-Modell für die Bewertung der häufiger gehandelten amerikanischen Optionen.

Die Formel des Black-Scholes-Modells

Die in der Formel enthaltene Mathematik ist kompliziert und kann einschüchternd wirken, aber Sie müssen die Mathematik nicht kennen oder sogar verstehen, um Black-Scholes-Modellierung in Ihren Strategien zu verwenden.

Optionshändler haben Zugang zu verschiedenen Online-Optionsrechnern, und viele der führenden Handelsplattformen bieten robuste Optionsanalyse-Tools, die Indikatoren und Tabellenkalkulationen umfassen, die die Berechnungen durchführen und die Optionspreiswerte ausgeben.

Die Black-Scholes-Call-Option-Formel wird berechnet, indem der Aktienkurs mit der kumulativen Standard-Normalverteilungsfunktion multipliziert wird.

Der Nettobarwert (NPV) des Ausübungspreises multipliziert mit der kumulativen Standardnormalverteilung wird dann vom resultierenden Wert der vorherigen Berechnung subtrahiert.

C=SN(d1)−Ke−rtN(d2)wobei:d1=lnKS+(r+σv22)tσstandd2=d1−σstand wobei:C=Call-OptionspreisS=Aktueller Aktienkurs (oder anderer Basiswert)K=Ausübungspreispr=Risikofreier Zinssatzt=RestlaufzeitN=Eine Normalverteilung\begin{aligned}&C = SN (d_1) - Ke ^{-rt} N (d_2) \\&\textbf{wobei:} \\&d_1 = \frac { ln ^ S_K + (r + \frac { \sigma^2_v }{ 2 } ) t }{ \sigma_s \sqrt { t } } \\&\text{und} \\&d_2 = d_1 - \sigma_s \sqrt { t } \\&\textbf{und wobei:} \\&C = \text{Call-Optionspreis} \\&S = \text{Aktueller Aktienkurs (oder anderer Basiswert)} \\&K = \text{Ausübungspreis} \\&r = \text{Risikofreier Zinssatz} \\&t = \text{Restlaufzeit} \\&N = \text{Eine Normalverteilung} \\\end{aligned}C=SN(d1)−Ke−rtN(d2)wobei:d1=σstlnKS+(r+2σv2)tundd2=d1−σstund wobei:C=Call-OptionspreisS=Aktueller Aktienkurs (oder anderer Basiswert)K=Ausübungspreispr=Risikofreier Zinssatzt=RestlaufzeitN=Eine Normalverteilung

Volatilitäts-Skew

Black-Scholes geht davon aus, dass Aktienkurse einer Lognormalverteilung folgen, da Vermögenspreise nicht negativ sein können; sie sind durch Null begrenzt.

Es wird häufig beobachtet, dass Vermögenspreise eine signifikante Rechtsschiefe und ein gewisses Maß an Kurtosis oder dicke Enden aufweisen. Hochriskante Abwärtsbewegungen treten am Markt oft häufiger auf, als eine Normalverteilung vorhersagt.

Gemäß dem Black-Scholes-Modell sollte die Annahme lognormaler Basiswertpreise zeigen, dass die impliziten Volatilitäten für jeden Ausübungspreis ähnlich sind.

Seit dem Börsencrash von 1987 haben am Geld liegende Optionen eine niedrigere implizite Volatilität als Optionen, die weit aus dem Geld oder tief im Geld sind. Der Markt signalisiert eine höhere Wahrscheinlichkeit eines großen Rückgangs der Volatilität.

Dies hat zum Auftreten des Volatilitäts-Skews geführt. Ein Lächeln oder eine schiefe Form ist zu sehen, wenn die impliziten Volatilitäten für Optionen mit demselben Verfallsdatum in einem Diagramm dargestellt werden.5

Das Black-Scholes-Modell ist daher nicht effizient für die Berechnung der impliziten Volatilität.

Vorteile und Grenzen des Black-Scholes-Modells

Bietet einen stabilen Rahmen, der auf einer definierten Methode basiert.

Ermöglicht es Anlegern, Risiken zu mindern, indem sie ihr Exposure besser verstehen

Kann verwendet werden, um Strategien für die Erstellung eines Portfolios basierend auf den Präferenzen eines Anlegers zu entwickeln.

Optimiert und verbessert die effiziente Berechnung und Berichterstattung von Zahlen

Berücksichtigt nicht alle Arten von Optionen

Kann aufgrund zukünftiger Prognosen eines Wertpapiers an Cashflow-Flexibilität mangeln

Kann ungenaue Annahmen über zukünftige stabile Volatilität treffen

Stützt sich auf mehrere andere Annahmen, die sich möglicherweise nicht im tatsächlichen Preis des Wertpapiers materialisieren

Vorteile des Black-Scholes-Modells

Das Black-Scholes-Modell wurde erfolgreich von vielen Finanzfachleuten implementiert und genutzt, aufgrund der Vielzahl von Vorteilen, die es bietet.

Bietet einen Rahmen: Das Black-Scholes-Modell bietet einen theoretischen Rahmen für die Bewertung von Optionen. Dies ermöglicht es Anlegern und Händlern, den fairen Preis einer Option mithilfe einer strukturierten, definierten Methodik zu bestimmen, die erprobt und getestet wurde.

Ermöglicht Risikomanagement: Anleger können das Black-Scholes-Modell verwenden, um ihr Risikoexposure gegenüber verschiedenen Vermögenswerten zu steuern, indem sie den theoretischen Wert einer Option kennen. Das Black-Scholes-Modell ist daher für Anleger nicht nur bei der Bewertung potenzieller Renditen nützlich, sondern auch beim Verständnis von Portfolioschwächen und defizitären Anlagebereichen.

Ermöglicht Portfoliooptimierung: Das Black-Scholes-Modell kann zur Optimierung von Portfolios verwendet werden, indem es ein Maß für die erwarteten Renditen und Risiken verschiedener Optionen liefert. Dies ermöglicht es Anlegern, intelligentere Entscheidungen zu treffen, die besser auf ihre Risikotoleranz und ihr Gewinnstreben abgestimmt sind.

Verbessert die Markteffizienz: Das Black-Scholes-Modell hat zu einer größeren Markteffizienz und Transparenz geführt, da Händler und Anleger Optionen besser bewerten und handeln können. Dies vereinfacht den Preisbildungsprozess, da ein größeres implizites Verständnis dafür besteht, wie Preise abgeleitet werden.

Optimiert die Preisbildung: Das Black-Scholes-Modell ist weitgehend akzeptiert und wird von Praktikern der Finanzbranche verwendet, was eine größere Konsistenz und Vergleichbarkeit über Märkte und Rechtsordnungen hinweg ermöglicht.

Grenzen des Black-Scholes-Modells

Das Black-Scholes-Modell ist weit verbreitet, aber es gibt dennoch einige Nachteile des Modells.

Begrenzt den Nutzen: Das Black-Scholes-Modell wird nur zur Bewertung europäischer Optionen verwendet. Es berücksichtigt nicht, dass US-Optionen vor dem Verfallsdatum ausgeübt werden könnten.

Mangelnde Cashflow-Flexibilität: Das Modell geht davon aus, dass Dividenden und risikofreie Zinssätze konstant sind, was jedoch nicht der Fall sein muss. Das Black-Scholes-Modell kann daher aufgrund der Modellstarrheit möglicherweise nicht den genauen zukünftigen Cashflow einer Investition widerspiegeln.

Nimmt konstante Volatilität an: Das Modell geht auch davon aus, dass die Volatilität während der gesamten Laufzeit der Option konstant bleibt. Dies ist oft nicht der Fall, da die Volatilität mit dem Angebots- und Nachfrageniveau schwankt.

Irreführende andere Annahmen: Das Black-Scholes-Modell stützt sich auch auf andere Annahmen. Diese beinhalten: Es gibt keine Transaktionskosten oder Steuern, der risikofreie Zinssatz ist für alle Laufzeiten konstant, Leerverkäufe von Wertpapieren unter Verwendung der Erlöse sind erlaubt, und es gibt keine Arbitragemöglichkeiten ohne Risiko. Jede dieser Annahmen kann zu Preisen führen, die von den tatsächlichen Ergebnissen abweichen.

Was macht das Black-Scholes-Modell?

Das Black-Scholes-Modell, auch bekannt als Black-Scholes-Merton (BSM), war das erste weit verbreitete Modell zur Optionspreisbildung. Die Gleichung berechnet den Preis einer europäischen Call-Option basierend auf bekannten Variablen wie dem aktuellen Preis, dem Fälligkeitsdatum und dem Ausübungspreis, basierend auf bestimmten Annahmen über das Verhalten von Vermögenspreisen.

Dies geschieht, indem der Nettobarwert (NPV) des Ausübungspreises multipliziert mit der kumulativen Standardnormalverteilung vom Produkt aus Aktienkurs und der kumulativen Standard-Normalverteilungsfunktion subtrahiert wird.

Was sind die Eingaben für das Black-Scholes-Modell?

Die Eingaben für die Black-Scholes-Gleichung sind Volatilität, der Preis des Basiswerts, der Ausübungspreis der Option, die Zeit bis zum Verfall der Option, der risikofreie Zinssatz und die Art der Option. Es ist theoretisch möglich, dass Optionsverkäufer mit diesen Variablen rationale Preise für die von ihnen verkauften Optionen festlegen.

Welche Annahmen trifft das Black-Scholes-Modell?

Das ursprüngliche Black-Scholes-Modell geht davon aus, dass die Option eine europäische Option ist und nur bei Verfall ausgeübt werden kann.

Es geht auch davon aus, dass während der Laufzeit der Option keine Dividenden gezahlt werden, dass Marktbewegungen einem Random Walk folgen und nicht vorhergesagt werden können, dass beim Kauf der Option keine Transaktionskosten anfallen, dass der risikofreie Zinssatz und die Volatilität der zugrunde liegenden Option bekannt und konstant sind und dass die Preise des Basiswerts einer Lognormalverteilung folgen.

Was sind die Grenzen des Black-Scholes-Modells?

Das Black-Scholes-Modell wird nur zur Bewertung europäischer Optionen verwendet. Es berücksichtigt nicht, dass amerikanische Optionen vor dem Verfallsdatum ausgeübt werden könnten. Das Modell geht auch davon aus, dass Dividenden, Volatilität und risikofreie Zinssätze während der gesamten Laufzeit der Option konstant bleiben. Die Nichtberücksichtigung von Steuern, Provisionen oder Handelskosten kann ebenfalls zu Bewertungen führen, die von realen Ergebnissen abweichen.