Diskrete Verteilung

Was ist eine diskrete Verteilung?

Eine diskrete Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die das Auftreten von diskreten (einzeln zählbaren) Ergebnissen wie 1, 2, 3, ja, nein, wahr oder falsch darstellt. Die Binomialverteilung zum Beispiel ist eine diskrete Verteilung, die die Wahrscheinlichkeit eines "Ja"- oder "Nein"-Ergebnisses über eine bestimmte Anzahl von Versuchen bewertet, gegeben die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in jedem Versuch – wie etwa das hundertmalige Werfen einer Münze, bei dem das Ergebnis "Kopf" ist.

Statistische Verteilungen können entweder diskret oder stetig sein. Eine stetige Verteilung wird aus Ergebnissen gebildet, die auf einem Kontinuum liegen, wie z. B. alle Zahlen größer als 0 (einschließlich Zahlen, deren Dezimalstellen unendlich weitergehen, wie z. B. pi = 3,14159265...). Insgesamt sind die Konzepte der diskreten und stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Zufallsvariablen, die sie beschreiben, die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und der statistischen Analyse.

Wichtige Erkenntnisse

• Diskrete Verteilungen stehen im Gegensatz zu stetigen Verteilungen, bei denen Ergebnisse überall auf einem Kontinuum liegen können.
• Häufige Beispiele für diskrete Verteilungen sind die Binomial-, Poisson- und Bernoulli-Verteilungen.
• Diese Verteilungen beinhalten oft statistische Analysen von "Anzahlen" oder "wie oft" ein Ereignis eintritt.
• Im Finanzwesen werden diskrete Verteilungen bei der Optionspreisgestaltung und der Prognose von Marktschocks oder Rezessionen eingesetzt.
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Warum diskrete Verteilungen wichtig sind

Eine Verteilung ist ein statistisches Konzept, das in der Datenforschung verwendet wird. Diejenigen, die die Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten einer bestimmten Studie ermitteln möchten, zeichnen messbare Datenpunkte aus einem Datensatz auf, was zu einem Wahrscheinlichkeitsverteilungsdiagramm führt. Aus einer Verteilungsstudie können viele Formen von Wahrscheinlichkeitsverteilungsdiagrammen resultieren, wie z. B. die Normalverteilung ("Glockenkurve").

Statistiker können die Entwicklung einer diskreten oder stetigen Verteilung anhand der Art der zu messenden Ergebnisse identifizieren. Im Gegensatz zur Normalverteilung, die stetig ist und jedes mögliche Ergebnis auf dem Zahlenstrahl berücksichtigt, wird eine diskrete Verteilung aus Daten konstruiert, die nur einer endlichen oder diskreten Menge von Ergebnissen folgen können.

Diskrete Verteilungen stellen also Daten mit einer abzählbaren Anzahl von Ergebnissen dar, was bedeutet, dass die potenziellen Ergebnisse in eine Liste aufgenommen und dann grafisch dargestellt werden können. Die Liste kann endlich oder unendlich sein. Bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Würfels mit sechs nummerierten Seiten besteht die Liste beispielsweise aus 1, 2, 3, 4, 5, 6. Wenn Sie zwei Würfel werfen, sind die Chancen, zwei Sechsen (12) oder zwei Einsen (zwei) zu würfeln, viel geringer als andere Kombinationen; in einem Diagramm würden Sie die Wahrscheinlichkeiten der beiden durch die kleinsten Balken im Diagramm dargestellt sehen.

Arten diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Die häufigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen umfassen die Binomial-, Bernoulli-, Multinomial- und Poisson-Verteilung.1

Binomial

Eine Binomialwahrscheinlichkeitsverteilung ist eine, bei der es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt. In dieser Verteilung werden Daten nach wiederholten Versuchen in einer von zwei Formen gesammelt und entweder als Erfolg oder Misserfolg klassifiziert. Sie hat im Allgemeinen eine endliche Menge von nur zwei möglichen Ergebnissen, wie Null oder Eins. Das Werfen einer Münze ergibt zum Beispiel die Liste (Kopf, Zahl).

Die Binomialverteilung wird in Optionspreismodellen verwendet, die auf Binomialbäumen basieren. In einem Binomialbaummodell kann der Basiswert nur genau einen von zwei möglichen Werten wert sein – bei dem Modell gibt es bei jeder Iteration nur zwei wahrscheinliche Ergebnisse – eine Aufwärts- oder Abwärtsbewegung mit definierten Werten.

Bernoulli

Bernoulli-Verteilungen ähneln Binomialverteilungen, da es zwei mögliche Ergebnisse gibt. Es wird ein Versuch durchgeführt, daher werden die Ergebnisse in einer Bernoulli-Verteilung entweder als Null oder Eins bezeichnet. Eine Eins steht für Erfolg, eine Null für Misserfolg – ein Versuch wird als Bernoulli-Versuch bezeichnet.

Wenn Sie also eine grüne Murmel (für Erfolg) und eine rote Murmel (für Misserfolg) in einer abgedeckten Schüssel verwenden und ohne hinzusehen wählen, würden Sie jedes Ergebnis als Null oder Eins und nicht als Erfolg oder Misserfolg für Ihre Stichprobe notieren. Bernoulli-Verteilungen werden verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu betrachten, dass eine Investition erfolgreich ist oder scheitert.

Multinomial

Multinomialverteilungen treten auf, wenn eine Wahrscheinlichkeit von mehr als zwei Ergebnissen mit mehreren Zählungen besteht. Nehmen wir an, Sie haben eine abgedeckte Schüssel mit einer grünen, einer roten und einer gelben Murmel. Für Ihren Test notieren Sie, wie oft Sie jede der Murmeln für Ihre Stichprobe zufällig auswählen.

Wichtig

Im Finanz- und Anlagewesen schätzen diese Verteilungen die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Reihe von finanziellen Ereignissen eintritt.

Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung drückt die Wahrscheinlichkeit aus, dass eine bestimmte Anzahl von Ereignissen in einem festgelegten Zeitraum eintritt.

Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Verteilung, die die Häufigkeit von Ereignissen als ganze Zahlen zählt, deren Liste (0, 1, 2, ...) unendlich sein kann. Nehmen wir an, Sie haben eine abgedeckte Schüssel mit einer roten und einer grünen Murmel, und Ihr gewählter Zeitraum beträgt zwei Minuten. Ihr Test besteht darin, zu notieren, ob Sie die grüne oder rote Murmel nehmen, wobei die grüne für Erfolg steht. Nach jedem Test legen Sie die Murmel zurück in die Schüssel und notieren die Ergebnisse.

In diesem Modell würde die Verteilung die Ergebnisse über einen Zeitraum hinweg grafisch darstellen und anzeigen, wie oft Grün gewählt wird.

Die Poisson-Verteilung wird häufig verwendet, um Finanzdaten zu modellieren, bei denen die Zählung klein und oft null ist. Beispielsweise kann sie verwendet werden, um die Anzahl der Trades zu modellieren, die ein typischer Investor an einem bestimmten Tag tätigt, die 0 (oft), 1, 2 usw. sein kann.

Monte Carlo Simulation

Diskrete Verteilungen sind auch in der Monte-Carlo-Simulation zu finden. Eine Monte-Carlo-Simulation ist eine Modellierungstechnik, die die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ergebnisse durch programmierte Technologie identifiziert. Sie wird hauptsächlich verwendet, um Szenarien vorherzusagen und Risiken zu identifizieren.

Kurzer Fakt

In einer Monte-Carlo-Simulation führen Ergebnisse mit diskreten Werten zu diskreten Verteilungen für die Analyse. Diese Verteilungen bestimmen Risiko und Abwägungen zwischen den verschiedenen betrachteten Elementen.

Berechnung der diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung

Wie Sie eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen, hängt von Ihrem Test ab, was Sie messen möchten und wie Sie es messen. Wenn Sie zum Beispiel eine Münze zweimal werfen, sind die möglichen Kombinationen:

Zahl/Zahl (ZZ)

Kopf/Zahl (KZ)

Zahl/Kopf (ZK)

Kopf/Kopf (KK)

Da Sie die Münze zweimal werfen und es zwei mögliche Ergebnisse gibt, gibt es vier Möglichkeiten. Jedes der Ergebnisse repräsentiert ein Viertel der Möglichkeiten. Die Kombinationen KZ und ZK machen jeweils ein Viertel aus (und sind im Wesentlichen dasselbe) und repräsentieren die Hälfte der Ergebnisse. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Sie in einem Viertel der Fälle ZZ oder KK erhalten, und in der Hälfte der Fälle KZ oder ZK.

Dies funktioniert ähnlich beim Werfen von zwei Würfeln, da die Ergebnisse eines Würfelwurfs diskret sind. Es gibt 36 Möglichkeiten, da jeder Würfel sechs Seiten hat, aber es kann kein Ergebnis von eins geben, da die niedrigste Zahl auf jedem Würfel eins ist. Das niedrigste Ergebnis, das Sie erzielen können, ist also zwei, und das höchste ist 12. Viele der Kombinationen wiederholen sich, genau wie beim Münzbeispiel – je mehr Möglichkeiten sich wiederholen, desto mehr Instanzen werden grafisch dargestellt.

Wie in der folgenden Tabelle zu sehen, haben Sie, wenn Sie die Zahlen für die Würfelergebnisse addieren, einen Fall, in dem das Ergebnis zwei ist, und einen, in dem es 12 ist – dies ergibt eine Wahrscheinlichkeit von eins zu 36 für die Zahlen zwei und 12.

Die Wahrscheinlichkeit (P), dass X (das Ergebnis) gleich x (der gewählten Zahl) ist, wäre:

P(X=2) = 1 / 36

P(X=3) = 2 / 36

P(X=4) = 3 /36

P(X=5) = 4 / 36

P(X=6) = 5 /36

P(X=7) = 6 / 36

P(X=8) = 5 / 36

P(X=9) = 4 / 36

P(X=10) = 3 / 36

P(X=11) = 2 / 36

P(X=12) = 1 / 36

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wurf zwei ergibt, beträgt eins zu 36; die Wahrscheinlichkeit, dass er drei ergibt, beträgt zwei zu 36, und so weiter.

Anlagebeispiel

Im folgenden Binomialbaummodell hat der Analyst Intervalle von drei Monaten mit einem Startpreis von $10 gewählt. Er hat vergangene Daten aus der Anlage verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass der Preis steigt oder fällt, auf die gleiche Weise wie die Würfelwürfe berechnet wurden.

In diesem Bild hat der Analyst berechnet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Preis auf $12 steigt, 1,03 beträgt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Preis auf $8 fällt, beträgt 3,43. Bei jedem Anstieg oder Rückgang des Preises können Sie sehen, dass der Analyst die diskreten Wahrscheinlichkeiten für neun Monate berechnet hat. Am Ende von neun Monaten sehen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Aktienkurs auf $17,28 steigt, null beträgt, während die Wahrscheinlichkeit, dass er auf $7,68 fällt, 4,32 beträgt; die Wahrscheinlichkeit, dass er $5,12 erreicht, beträgt 6,98. Die Aktie wird also in den nächsten neun Monaten eher im Preis fallen als steigen.

Bild von Sabrina Jiang © Investopedia 2020

Diskrete Verteilung vs. stetige Verteilung

Wenn eine diskrete Verteilung eine ist, die diskrete Variablen grafisch darstellt, dann ist eine stetige Verteilung eine, die stetige Variablen grafisch darstellt. Der Unterschied ist in Grafiken zu sehen, wo diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Allgemeinen durch Balken dargestellt werden, da die Daten diskret sind.

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen erscheinen im Allgemeinen als Kurve oder Linie in einem Diagramm, da die Daten unter der Linie stetig und nicht endlich sind.

Welche Arten von diskreten Verteilungen gibt es?

Die häufigsten diskreten Verteilungen, die von Statistikern oder Analysten verwendet werden, umfassen die Binomial-, Poisson-, Bernoulli- und Multinomialverteilungen. Weitere sind die negative Binomialverteilung, die geometrische und die hypergeometrische Verteilung.

Was sind die 2 Anforderungen an eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Die Wahrscheinlichkeiten von Zufallsvariablen müssen diskrete (im Gegensatz zu stetigen) Werte als Ergebnisse haben. Für eine kumulative Verteilung muss die Wahrscheinlichkeit jeder diskreten Beobachtung zwischen 0 und 1 liegen, und die Summe der Wahrscheinlichkeiten muss eins (100%) ergeben.

Woher wissen Sie, ob eine Verteilung diskret ist?

Die Daten sind diskret, wenn es nur eine Menge möglicher Ergebnisse gibt (z. B. null, eins oder nur ganze Zahlen).

Was ist eine stetige Verteilung?

Im Gegensatz zu einer diskreten Verteilung kann eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Ergebnisse enthalten, die jeden beliebigen Wert haben, einschließlich unbestimmter Brüche. Eine Normalverteilung zum Beispiel wird durch eine glockenförmige Kurve mit einer ununterbrochenen Linie dargestellt, die alle Werte über ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion abdeckt.

Was ist ein diskretes Wahrscheinlichkeitsmodell?

Ein diskretes Wahrscheinlichkeitsmodell ist ein statistisches Werkzeug, das Daten einer diskreten Verteilung nimmt und versucht, ein bestimmtes Ergebnis vorherzusagen oder zu modellieren, wie z. B. den Preis einer Optionskontrakte oder wie wahrscheinlich ein Marktschock in den nächsten fünf Jahren ist.