Drei-Sigma-Grenzen

Was ist eine Drei-Sigma-Grenze?

Ein Drei-Sigma-Limit ist eine statistische Berechnung, bei der die Daten innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert liegen. Nach der empirischen Regel sind das 99,7 % der Daten. Drei Sigma bezieht sich auf Geschäftsprozesse, die effizient arbeiten und qualitativ hochwertige Produkte herstellen. Drei-Sigma-Grenzen werden verwendet, um die oberen und unteren Kontrollgrenzen in statistischen Qualitätskontrollkarten festzulegen. Kontrollkarten legen Grenzen für einen Produktions- oder Geschäftsprozess fest, der sich in einem Zustand der statistischen Kontrolle befindet.

Wichtige Erkenntnisse:

• Die Drei-Sigma-Grenze sind statistische Daten innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert.
• Drei-Sigma-Grenzen legen die oberen und unteren Kontrollgrenzen in statistischen Qualitätskontrollkarten fest.
• Daten oberhalb des Durchschnitts und jenseits der Drei-Sigma-Linie auf einer Glockenkurve stellen weniger als 1 % aller Datenpunkte dar.
• Sigma ist ein statistisches Maß für die Variabilität, das angibt, wie viel Abweichung von einem statistischen Durchschnitt vorhanden ist.

Verstehen der Drei-Sigma-Grenzen

Kontrollkarten sind auch als Shewhart-Diagramme bekannt, benannt nach Walter A. Shewhart, einem amerikanischen Physiker, Ingenieur und Statistiker (1891–1967).1 Kontrollkarten basieren auf der Theorie, dass ein gewisses Maß an Variabilität in den Ausgabemessungen selbst bei perfekt gestalteten Prozessen inhärent ist.

Kontrollkarten bestimmen, ob es eine kontrollierte oder unkontrollierte Variation in einem Prozess gibt. Variationen in der Prozessqualität aufgrund zufälliger Ursachen gelten als unter Kontrolle. Nicht kontrollierte Prozesse umfassen sowohl zufällige als auch spezielle Ursachen der Variation. Kontrollkarten sollen das Vorhandensein spezieller Ursachen feststellen.

Statistiker und Analysten verwenden eine als Standardabweichung bekannte Metrik zur Messung von Variationen, die auch als Sigma bezeichnet wird. Es ist ein statistisches Maß für die Variabilität, das zeigt, wie viel Abweichung von einem statistischen Durchschnitt vorhanden ist.

Betrachten Sie die normale Glockenkurve mit einer Normalverteilung. Je weiter rechts oder links ein Datenpunkt aufgezeichnet wird, desto höher oder niedriger ist der Datenwert im Vergleich zum Mittelwert. Niedrige Werte zeigen an, dass die Datenpunkte nahe am Mittelwert liegen. Hohe Werte zeigen an, dass die Daten weit verstreut und nicht nahe am Durchschnitt sind.

Berechnung von Drei Sigma

Betrachten wir ein produzierendes Unternehmen, das eine Reihe von 10 Tests durchführt, um festzustellen, ob es eine Variation in der Qualität seiner Produkte gibt. Die Datenpunkte für die 10 Tests sind 8,4; 8,5; 9,1; 9,3; 9,4; 9,5; 9,7; 9,7; 9,9 und 9,9.

Berechnen Sie den Mittelwert der beobachteten Daten. (8,4 + 8,5 + 9,1 + 9,3 + 9,4 + 9,5 + 9,7 + 9,7 + 9,9 + 9,9) ÷ 10, was 93,4 ÷ 10 = 9,34 ergibt.

Bestimmen Sie die Varianz der Menge. Die Varianz ist die Streuung zwischen den Datenpunkten und wird als Summe der Quadrate der Differenz zwischen jedem Datenpunkt und dem Mittelwert geteilt durch die Anzahl der Beobachtungen berechnet. Das erste Differenzquadrat wird wie folgt berechnet: (8,4 - 9,34)² = 0,8836, das zweite Differenzquadrat ergibt (8,5 - 9,34)² = 0,7056, das dritte Quadrat kann als (9,1 - 9,34)² = 0,0576 berechnet werden, und so weiter. Die Summe der Quadrate aller 10 Datenpunkte beträgt 2,564. Die Varianz beträgt daher 2,564 / 10 = 0,2564.

Berechnen Sie die Standardabweichung. Dies ist einfach die Quadratwurzel der Varianz. Die Standardabweichung = √0,2564 = 0,5064.

Berechnen Sie Drei Sigma. Dies sind drei Standardabweichungen über dem Mittelwert. Es ist (3 x 0,5064) + 9,34 = 10,9 in numerischer Form. Keiner der Daten liegt an einem so hohen Punkt, sodass der Fertigungstestprozess noch nicht das Drei-Sigma-Qualitätsniveau erreicht hat.

Wichtig

Sigma misst, wie weit beobachtete Daten vom Mittelwert oder Durchschnitt abweichen. Anleger verwenden die Standardabweichung, um die erwartete Volatilität einzuschätzen.

Wann man Drei Sigma verwendet

Drei Sigma kann nützlich sein, wenn es auf verschiedene Szenarien angewendet wird, darunter:

Festlegen von Kontrollgrenzen

Identifizieren und Analysieren von Ausreißern

Unterscheidung zwischen normaler und ungewöhnlicher Variation

Qualitätskontrolle und Verbesserung der Genauigkeit, insbesondere im Fertigungssektor

Schätzen der Wahrscheinlichkeit und des Ergebnisses bestimmter Ereignisse

Erkennen von Anomalien oder ungewöhnlichen Ereignissen in verschiedenen Bereichen, einschließlich der Finanzanalyse

Drei Sigma vs. Sechs Sigma

Der Hauptunterschied zwischen der Drei-Sigma-Grenze und der Sechs-Sigma-Grenze liegt in ihrem Genauigkeitsgrad. Denken Sie daran, dass die Drei-Sigma-Grenze drei Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt ist. Das bedeutet, dass 99,7 % der Daten innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert liegen. Bei Sechs Sigma fallen fast alle Daten (99,99 %) innerhalb von sechs Standardabweichungen vom Mittelwert. Das bedeutet, dass die Sechs-Sigma-Grenze allgemein als genauer angesehen wird.23

Drei Sigma wird häufig in der Fertigung, Qualitätssicherung und anderen Branchen eingesetzt, in denen ein gewisses Maß an Abweichung tolerierbar ist. Sechs Sigma hingegen ist in Bereichen erforderlich, in denen datengesteuerte Genauigkeit gefordert ist, insbesondere zur Kostensenkung. Dazu gehören Bereiche wie Fertigung, Finanzen, Gesundheitswesen und Informationstechnologie.

Wie werden Drei-Sigma-Grenzen verwendet?

Drei-Sigma-Grenzen legen einen Bereich für den Prozessparameter bei 0,27 % Kontrollgrenzen fest. Drei-Sigma-Kontrollgrenzen werden verwendet, um Daten aus einem Prozess zu überprüfen und festzustellen, ob sie sich in statistischer Kontrolle befinden, indem geprüft wird, ob Datenpunkte innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert liegen. Die obere Kontrollgrenze wird drei Sigma über dem Mittelwert und die untere Kontrollgrenze drei Sigma unter dem Mittelwert festgelegt.4

Was ist die Standardabweichung?

Die Standardabweichung ist ein statistisches Maß. Sie berechnet die Streuung einer Menge von Werten gegenüber ihrem Durchschnitt. Sie ist die positive Quadratwurzel der Varianz und definiert den Unterschied zwischen der Variation und dem Mittelwert.5

Was ist eine Glockenkurve?

Eine Glockenkurve hat ihren Namen von ihrem Aussehen: eine symmetrische glockenförmige Kurve, die in der Mitte ansteigt. Sie veranschaulicht die normale Wahrscheinlichkeit und wird in mehreren Grafiken und Verteilungen verwendet. Die einzelne Linie misst Daten auf einer, zwei und drei Standardabweichungen.6