Empirische Regel

Wichtige Erkenntnisse

• Drei-Sigma-Grenzen, die der empirischen Regel folgen, werden verwendet, um die oberen und unteren Kontrollgrenzen in statistischen Qualitätskontrollkarten und in der Risikoanalyse festzulegen.
• 68 % der Daten liegen innerhalb einer Standardabweichung gemäß der empirischen Regel.
• 95 % liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen.
• 99,7 % liegen innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert.
• Investopedia / Michela Buttignol

Was ist die empirische Regel?

Die empirische Regel, auch manchmal als Drei-Sigma- oder 68-95-99,7-Regel bezeichnet, sagt Abweichungen vom Mittelwert oder Durchschnitt der Daten voraus. Sie besagt, dass 68 % der Beobachtungen innerhalb der ersten Standardabweichung (µ ± σ) bei Normalverteilungen liegen, 95 % innerhalb der ersten beiden Standardabweichungen (µ ± 2σ) und 99,7 % innerhalb der ersten drei Standardabweichungen (µ ± 3σ) vom Mittelwert. Die Regel ist ein wichtiger Bestandteil der Qualitätskontrolle und Risikoanalyse.

Die empirische Regel verstehen

Die empirische Regel wird in der Statistik häufig zur Prognose von Endergebnissen verwendet. Nach der Berechnung der Standardabweichung und vor der Erhebung vollständiger Daten kann diese Regel als grobe Schätzung des Ergebnisses der bevorstehenden zu erhebenden und analysierenden Daten verwendet werden.

Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung kann als Bewertungstechnik verwendet werden, da die Sammlung der entsprechenden Daten in manchen Fällen zeitaufwändig oder sogar unmöglich sein kann. Solche Überlegungen kommen ins Spiel, wenn ein Unternehmen seine Qualitätskontrollmaßnahmen überprüft oder seine Risikoexposition bewertet. Beispielsweise geht das häufig verwendete Risikoinstrument Value-at-Risk (VaR) davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit von Risikoereignissen einer Normalverteilung folgt.

Die empirische Regel wird auch als grobe Methode verwendet, um die „Normalität“ einer Verteilung zu testen. Wenn zu viele Datenpunkte außerhalb der drei Standardabweichungsgrenzen liegen, deutet dies darauf hin, dass die Verteilung nicht normal ist und möglicherweise schief ist oder einer anderen Verteilung folgt.

Die empirische Regel ist auch als Drei-Sigma-Regel bekannt, da sich „Drei-Sigma“ auf eine statistische Verteilung von Daten innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert in einer Normalverteilung (Glockenkurve) bezieht, wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

Beispiel für die empirische Regel

Nehmen wir an, eine Population von Tieren in einem Zoo ist bekanntermaßen normalverteilt. Jedes Tier wird im Durchschnitt 13,1 Jahre alt (Mittelwert), und die Standardabweichung der Lebensdauer beträgt 1,5 Jahre. Wenn jemand die Wahrscheinlichkeit wissen möchte, dass ein Tier länger als 14,6 Jahre lebt, könnte er die empirische Regel anwenden. Da der Mittelwert der Verteilung 13,1 Jahre beträgt, ergeben sich die folgenden Altersspannen für jede Standardabweichung:

Eine Standardabweichung (µ ± σ): (13,1 - 1,5) bis (13,1 + 1,5) oder 11,6 bis 14,6

Zwei Standardabweichungen (µ ± 2σ): 13,1 - (2 x 1,5) bis 13,1 + (2 x 1,5) oder 10,1 bis 16,1

Drei Standardabweichungen (µ ± 3σ): 13,1 - (3 x 1,5) bis 13,1 + (3 x 1,5) oder 8,6 bis 17,6

Die Person, die dieses Problem löst, muss die Gesamtwahrscheinlichkeit berechnen, dass das Tier 14,6 Jahre oder länger lebt. Die empirische Regel zeigt, dass 68 % der Verteilung innerhalb einer Standardabweichung liegen, in diesem Fall von 11,6 bis 14,6 Jahren. Somit liegen die restlichen 32 % der Verteilung außerhalb dieses Bereichs. Eine Hälfte liegt oberhalb von 14,6 und die andere unterhalb von 11,6. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Tier länger als 14,6 Jahre lebt, beträgt also 16 % (berechnet als 32 % geteilt durch zwei).

Die empirische Regel beim Investieren

Die meisten Marktdaten sind nicht normalverteilt, daher gilt die 68-95-99,7-Regel im Allgemeinen nicht für Investitionen. Viele Analysten verwenden jedoch Aspekte davon – wie die Standardabweichung –, um die Volatilität zu schätzen.

Sie können die Standardabweichung Ihres Portfolios, eines Index oder anderer Investitionen berechnen und sie zur Bewertung der Volatilität verwenden. Die Berechnung der Standardabweichung einer bestimmten Investition ist einfach, wenn Sie Zugang zu einer Tabellenkalkulation und den Kursen oder Renditen Ihrer gewählten Investition haben.

Marktanalysten geben die Standardabweichung in Prozent an. Die Standardabweichung für den S&P 500 Index von 2015 bis 2025 betrug beispielsweise 15,37 %.1

Mit der Tabellenkalkulation können Sie die Renditen, Kurse oder Werte einfügen, die prozentuale Veränderung zur vorherigen Sitzung ermitteln und die Standardabweichungsfunktion verwenden:2

Wichtig

Sie erhalten genauere Ergebnisse, wenn Sie Handelsdaten von mehr als einem Monat verwenden, beispielsweise von drei oder mehr Jahren. Das folgende Beispiel verwendet die Tageswerte des Index über einen Monat und annualisiert die Standardabweichung, um die Tabellengröße zu begrenzen.

Um die Standardabweichung zu annualisieren, multiplizieren Sie sie mit der Quadratwurzel der Anzahl der Handelstage in einem Jahr – in der Regel sind es 252. Hier eine Berechnung der Standardabweichung basierend auf den Schlusskursen des S&P 500.

Die annualisierte Volatilität auf Basis der in der Tabelle verwendeten Daten beträgt daher 20,42 %. Je höher die Standardabweichung, desto mehr Risiko schreiben Analysten der Investition zu.

Alternativ können Sie die Standardabweichung einer Investition auf beliebten Investitions-Websites finden. Morningstar zeigt beispielsweise die Standardabweichung des S&P 500 in Messungen über drei, fünf und zehn Jahre an.3

Einfach erklärt

Die empirische Regel beschreibt, wie die Punkte in einem Datensatz um das Zentrum gruppiert sind. Sie basiert auf der Standardabweichung, einem Maß dafür, wie weit die Datenpunkte gestreut sind.

Wenn der Datensatz normalverteilt ist, sagt die empirische Regel voraus, dass 68 % der Daten weniger als eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt sind. 95 % liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen vom Mittelwert und 99,7 % innerhalb von drei Standardabweichungen.

Was ist die empirische Regel?

In der Statistik besagt die empirische Regel, dass bei einer Normalverteilung 99,7 % der beobachteten Daten innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert liegen. Genauer gesagt: 68 % der beobachteten Daten liegen innerhalb einer Standardabweichung, 95 % innerhalb von zwei Standardabweichungen und 99,7 % innerhalb von drei Standardabweichungen.

Wie wird die empirische Regel verwendet?

Die empirische Regel wird angewendet, um wahrscheinliche Ergebnisse in einer Normalverteilung vorherzusagen. Beispielsweise könnte ein Statistiker sie verwenden, um den Prozentsatz der Fälle zu schätzen, die in jede Standardabweichung fallen. Angenommen, die Standardabweichung beträgt 3,1 und der Mittelwert 10. In diesem Fall würde die erste Standardabweichung zwischen (10+3,2)= 13,2 und (10-3,2)= 6,8 liegen. Die zweite Abweichung würde zwischen 10 + (2 x 3,2)= 16,4 und 10 - (2 x 3,2)= 3,6 liegen, und so weiter.

Was sind die Vorteile der empirischen Regel?

Die empirische Regel ist vorteilhaft, da sie als Mittel zur Prognose von Daten dient. Dies gilt insbesondere bei großen Datensätzen und solchen, bei denen Variablen unbekannt sind.