Erwartungswert

Wichtige Erkenntnisse

• Der Erwartungswert beschreibt das langfristige Durchschnittsniveau einer Zufallsvariablen basierend auf ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilung.
• Der EV einer Aktie oder einer anderen Anlage ist eine wichtige Überlegung und wird in Szenarioanalysen verwendet.
• Die moderne Portfoliotheorie verwendet EV in Verbindung mit dem Risiko oder der Standardabweichung einer Anlage, um optimierte Portfolios zu erstellen.
• EV kann Anlegern helfen, einzuschätzen, ob das Risiko einer Anlage die potenzielle Rendite wert ist.

Was ist der Erwartungswert?

Der Erwartungswert (EV) ist eine Formel, mit der Anleger die wahrscheinliche durchschnittliche Rendite schätzen, die sie im Laufe der Zeit mit einer Anlage erzielen könnten. Sie verwenden den Erwartungswert, um den Wert von Anlagen zu schätzen, oft im Verhältnis zu ihrem Risiko.

Durch die Berechnung von EVs können Anleger das Szenario auswählen, das am ehesten das gewünschte Ergebnis liefert. Der EV wird in der Statistik und Wahrscheinlichkeitsanalyse berechnet, indem jedes der möglichen Ergebnisse mit der Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ergebnis eintritt, multipliziert und dann alle diese Werte summiert werden.

Den Erwartungswert verstehen

Der Erwartungswert bezieht sich auf den erwarteten Wert eines Vermögenswerts in der Zukunft. Der EV einer Zufallsvariablen gibt ein Maß für das Zentrum der Verteilung der Variablen. Der EV ist im Wesentlichen der langfristige Durchschnittswert der Variablen.

Aufgrund des Gesetzes der großen Zahlen konvergiert der Durchschnittswert der Variablen gegen den EV, wenn die Anzahl der Wiederholungen gegen unendlich geht. EV wird auch als Erwartung, Mittelwert oder erstes Moment bezeichnet.

EV kann für einzelne diskrete Variablen, einzelne kontinuierliche Variablen, mehrere diskrete Variablen und mehrere kontinuierliche Variablen berechnet werden. Für kontinuierliche Variable müssen Integrale verwendet werden.

Die Szenarioanalyse ist eine Technik zur Berechnung des EV einer Anlagemöglichkeit. Sie verwendet geschätzte Wahrscheinlichkeiten mit multivariaten Modellen, um mögliche Ergebnisse für eine vorgeschlagene Anlage zu untersuchen. Die Szenarioanalyse hilft Anlegern auch zu bestimmen, ob sie ein angemessenes Risikoniveau eingehen, angesichts des wahrscheinlichen Ergebnisses der Anlage.

Wichtig

Der Unterschied zwischen Erwartungswert und arithmetischem Mittel besteht darin, dass ersterer eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und letzterer eine Verteilung des Auftretens betrifft.

Formel für den Erwartungswert

Die Formel für den Erwartungswert lautet:

EV=∑P(Xi)×Xi\begin{aligned} EV=\sum P(X_i)\times X_i\end{aligned}EV=∑P(Xi​)×Xi​​

wobei:

X eine Zufallsvariable ist

Xi spezifische Werte von X sind

P(Xi) die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Xi ist

Der EV einer Zufallsvariablen X wird daher als jeder Wert der Zufallsvariablen multipliziert mit seiner Wahrscheinlichkeit genommen. Jedes dieser Produkte wird summiert.

Erwartungswert im Portfolioaufbau

Anleger sollten mehrere Schlüsselfaktoren verstehen, wenn sie ihr Anlage- oder Finanzportfolio aufbauen möchten. Dazu gehören, wie Vermögenswerte funktionieren und welche Risiken mit ihnen verbunden sind. Anleger sollten auch ihre finanzielle Situation, ihre Anlageziele und ihren Anlagehorizont genau kennen.

Anleger und ihre Finanzberater können EV nutzen, um ein Portfolio aufzubauen, das ihre Renditen maximiert und gleichzeitig ihre Risiken minimiert, wenn sie diese Faktoren gründlich verstehen.

Beispiel eines Anlegers, der EV verwendet

Sie können EV verwenden, um die potenzielle Rendite einer Anlage zu ermitteln und folglich zu entscheiden, welche Vermögenswerte Sie basierend auf Ihrer Renditepräferenz zu Ihrem Portfolio hinzufügen.

Multiplizieren Sie zunächst die Wahrscheinlichkeit eines positiven Ergebnisses mit der potenziellen Rendite, um die erwartete Rendite zu berechnen. Angenommen, eine Anlage hat eine 60%ige Chance, um 10.000 $ im Wert zu steigen. Die Berechnung wäre: 0,6 x 10.000 $ = 6.000 $.

Multiplizieren Sie dann die Wahrscheinlichkeit eines negativen Ergebnisses mit dem potenziellen Verlust. Die Anlage hat auch eine 40%ige Chance, um 5.000 $ im Wert zu sinken. Die Berechnung wäre: 0,4 x 5.000 $ = 2.000 $.

Subtrahieren Sie schließlich das zweite Ergebnis vom ersten: 6.000 $ - 2.000 $ = 4.000 $. Das ist der EV für diese Anlage.

Als nächstes möchten Sie vielleicht zwei oder mehr Anlagen vergleichen, an denen Sie interessiert sind. Befolgen Sie die gleichen Schritte und vergleichen Sie die erwarteten Renditen. Dies kann Ihnen bei der Auswahl helfen, während Sie Ihr Portfolio aufbauen.

Vergleichen Sie EVs für verschiedene Vermögenswerte

Beachten Sie auch, dass verschiedene Vermögenswerte unterschiedliche EVs haben. Eine Aktie hat einen anderen Erwartungswert und ein anderes Risikoprofil als eine Anleihe oder ein Exchange-Traded Fund (ETF). Es ist nützlich, die EVs für die verschiedenen Vermögenswerte, an denen Sie interessiert sind, zu berechnen und die Ergebnisse zu vergleichen.

Sie können EV auch verwenden, um Ihr Portfolio nach dem Aufbau anzupassen. Vergleichen Sie EVs, um zu bestimmen, ob es sinnvoll ist, einen schlecht performenden Vermögenswert ohne Erwartung eines Wertanstiegs zu verkaufen und durch einen anderen mit einem höheren EV zu ersetzen.

Beispiel für den Erwartungswert

Sie müssen jeden Wert der Variablen mit der Wahrscheinlichkeit dieses Werts multiplizieren, um den EV für eine einzelne diskrete Zufallsvariable zu berechnen.

Nehmen Sie einen normalen sechsseitigen Würfel. Er hat eine gleiche Wahrscheinlichkeit von einem Sechstel, nach dem Würfeln auf den Werten eins, zwei, drei, vier, fünf oder sechs zu landen. Mit diesen Informationen lautet die Berechnung:

(16×1)+(16×2)+(16×3)+(16×4)+(16×5)+(16×6)=3.5\begin{aligned}\left(\frac{1}{6}\times1\right)&+\left(\frac{1}{6}\times2\right)+\left(\frac{1}{6}\times3\right)\\&+\left(\frac{1}{6}\times4\right)+\left(\frac{1}{6}\times5\right)+\left(\frac{1}{6}\times6\right)=3.5\end{aligned}(61​×1)​+(61​×2)+(61​×3)+(61​×4)+(61​×5)+(61​×6)=3.5​

Sie würden feststellen, dass der Durchschnittswert 3,5 beträgt, wenn Sie einen sechsseitigen Würfel unendlich oft werfen würden.

Was ist der Erwartungswert einer Dividendenaktie?

Der Erwartungswert einer Aktie wird als Nettobarwert (NPV) aller zukünftigen Dividenden geschätzt, die die Aktie zahlt. Sie können vorhersagen, wie viel Anleger bereitwillig für die Aktie zahlen sollten, wenn Sie ein Dividenden-Discount-Modell wie das Gordon-Wachstumsmodell (GGM) verwenden und die Wachstumsrate der Dividenden schätzen können. Es ist jedoch zu beachten, dass dies eine andere Formel ist als der in diesem Artikel vorgestellte statistische Erwartungswert.¹

Wie finde ich den Erwartungswert einer Aktie, die keine Dividenden zahlt?

Analysten verwenden oft einen Multiplikatoransatz, um den Erwartungswert von Aktien ohne Dividenden zu ermitteln. Das Kurs-Gewinn-Verhältnis (KGV) wird häufig verwendet und mit Branchenkollegen verglichen, sodass der EV einer Technologieaktie das 25-fache ihres Gewinns pro Aktie betragen würde, wenn die Technologiebranche ein durchschnittliches KGV von 25 hat. Auch dies unterscheidet sich vom statistischen Erwartungswert, der in diesem Artikel vorgestellt wird, aber es ist eine andere häufig verwendete Methode zur Untersuchung des Werts einer Aktie.

Wie wird der Erwartungswert einer Aktie in der Portfoliotheorie verwendet?

Die moderne Portfoliotheorie und verwandte Modelle verwenden eine Mean-Variance-Optimierung, um die beste Portfolioallokation auf risikobereinigter Basis zu ermitteln. Das Risiko wird als Standardabweichung des Portfolios gemessen, und der Mittelwert ist der Erwartungswert oder die erwartete Rendite des Portfolios.