Geometrisches Mittel

Wichtige Erkenntnisse

• Das geometrische Mittel ist ein Durchschnitt, der über das Produkt der Terme berechnet wird und ideal zur Bewertung der Anlageperformance ist.
• Es berücksichtigt die jährliche Aufzinsung und bietet ein präzises Maß für die tatsächliche Rendite einer Anlage.
• Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel verarbeitet das geometrische Mittel Prozentsätze, was es für Finanzanalysen unverzichtbar macht.
• Das geometrische Mittel ist stets etwas kleiner als das arithmetische Mittel, was seinen Fokus auf das zusammengesetzte Wachstum widerspiegelt.
• Aufzinsungseffekte machen das geometrische Mittel für die langfristige Bewertung der Portfolioperformance entscheidend.

Was ist das geometrische Mittel?

Das geometrische Mittel ist der Durchschnitt einer Menge von Produkten. Es wird mithilfe der Produkte der Terme berechnet. Das geometrische Mittel kann Analysten, Investoren und Portfoliomanagern helfen, die Performance eines Anlageportfolios zu bewerten. Durch die Berücksichtigung der Aufzinsungseffekte liefert das geometrische Mittel genauere Renditemaße als das arithmetische Mittel.

Die Berechnung des geometrischen Mittels kann man verstehen, indem man zwei einfache Zahlen wie 2 und 8 multipliziert und die Quadratwurzel des Produkts zieht. Die Berechnung mit vielen Zahlen wird schwieriger, es sei denn, man verwendet einen Taschenrechner oder ein Computerprogramm.

Das geometrische Mittel ist für die Bewertung der Anlageperformance vorzuziehen, da es mit der seriellen Korrelation der Renditen umgeht. Die Berechnung funktioniert am besten für Reihen mit serieller Korrelation, wie Anlageportfolios. Die meisten Renditen im Finanzwesen – einschließlich Marktrisikoprämien, Aktienrenditen und Anleiherenditen – sind korreliert.

Warum das geometrische Mittel im Finanzwesen unverzichtbar ist

Das geometrische Mittel, manchmal auch als durchschnittliche jährliche Wachstumsrate (CAGR) oder zeitgewichtete Rendite bezeichnet, ist die durchschnittliche Rendite einer Menge von Werten, die mithilfe der Produkte der Terme berechnet wird. Was bedeutet das? Das geometrische Mittel multipliziert mehrere Werte und setzt sie auf die 1/n-te Potenz.

Aus verschiedenen Gründen ist das geometrische Mittel ein wichtiges Werkzeug zur Berechnung der Portfolioperformance. Einer der bedeutendsten dieser Gründe ist, dass es die Auswirkungen der Aufzinsung berücksichtigt.

Zum Beispiel kann die Berechnung des geometrischen Mittels leicht mit einfachen Zahlen wie 2 und 8 verstanden werden. Multipliziert man 2 und 8 und zieht dann die Quadratwurzel (die 1/2-Potenz, da es nur zwei Zahlen gibt), lautet die Antwort 4. Wenn es jedoch viele Zahlen gibt, ist die Berechnung schwieriger, es sei denn, man verwendet einen Taschenrechner oder ein Computerprogramm.

Ein wesentlicher Vorteil des geometrischen Mittels ist, dass man die tatsächlich investierten Beträge nicht kennen muss. Es konzentriert sich nur auf Renditezahlen und bietet einen direkten Vergleich zwischen zwei Anlageoptionen im Zeitverlauf.

Das geometrische Mittel ist in der Regel kleiner als das arithmetische Mittel, ein einfacher Durchschnitt.

Berechnung des geometrischen Mittels: Formel und Beispiel

μgeometric=[(1+R1)(1+R2)…(1+Rn)]1/n−1wobei:∙R1…Rn sind die Renditen eines Vermögenswerts (oder anderer Beobachtungen zur Mittelwertbildung).\begin{aligned} &\mu _{\text{geometric}} = [(1+R _1)(1+R _2)\ldots(1+R _n)]^{1/n} - 1\\ &\textbf{wobei:}\\ &\bullet R_1\ldots R_n \text{ die Renditen eines Vermögenswerts (oder anderer}\\ &\text{Beobachtungen zur Mittelwertbildung) sind}. \end{aligned}​μgeometric​=[(1+R1​)(1+R2​)…(1+Rn​)]1/n−1wobei:∙R1​…Rn​ die Renditen eines Vermögenswerts (oder andererBeobachtungen zur Mittelwertbildung) sind.​

Stellen Sie sich vor, Ihr Portfolio hätte in fünf Jahren jeweils die folgenden Beträge erzielt:

Jahr eins: 5%

Jahr zwei: 3%

Jahr drei: 6%

Jahr vier: 2%

Jahr fünf: 4%

Sie würden die Formel mit diesen Werten verwenden:

[ ( 1 + 0,05)(1 + 0,03)(1 + 0,06)(1 + 0,02)(1 + 0,04) ] 1/5 - 1

[1,05 × 1,03 × 1,06 × 1,02 × 1,04]1/5 - 1

[1,2161]1/5 - 1

[1,2161].2 -1 = 0,0399

Multiplizieren Sie das Ergebnis mit 100 %, und Ihr Portfolio erzielte über fünf Jahre ein geometrisches Mittel von 3,99 %, etwas weniger als das arithmetische Mittel von (5+3+6+2+4) ÷ 5 = 4.

Sie können auch die Geomean-Funktion eines Google Sheets verwenden, um das geometrische Mittel der vorherigen Renditen zu berechnen.

Geben Sie in eine leere Zelle Folgendes ein (stellen Sie sicher, dass Sie auf Format> Zahl> Klartext klicken):

Wichtig

Je länger der Zeithorizont, desto kritischer wird die Aufzinsung und desto angemessener ist die Verwendung des geometrischen Mittels.

Was ist das geometrische Mittel von n Termen?

Das geometrische Mittel von n Termen ist das Produkt der Terme zur n-ten Wurzel, wobei n die Anzahl der Terme darstellt.

Kann man das geometrische Mittel mit negativen Werten berechnen?

Das ist nicht möglich – es ist unmöglich, ein geometrisches Mittel zu berechnen, das negative Zahlen enthält. Um negative Zahlen in einer geometrischen Mittelberechnung zu verwenden, müssen Sie sie in einen Anteil umwandeln. Wenn Sie zum Beispiel eine Anlage hätten, die -3 % zurückgegeben hat, würden Sie 1 - 0,03 = 0,97 als Ihren Wert verwenden.

Wie findet man das geometrische Mittel zwischen zwei Zahlen?

Um das geometrische Mittel zweier Zahlen zu berechnen, multiplizieren Sie die Zahlen miteinander und ziehen die Quadratwurzel aus dem Ergebnis.