Gesetz der großen Zahlen

Was ist das Gesetz der großen Zahlen?

Das Gesetz der großen Zahlen besagt in der Statistik, dass die Ergebnisse eines Tests an einer Stichprobe näher an den Durchschnitt der gesamten Bevölkerung heranrücken, je größer die Stichprobe wird. Das heißt, sie wird repräsentativer für die Gesamtbevölkerung.

In der Finanzwelt hat das Gesetz der großen Zahlen eine andere Bedeutung: Es besagt, dass ein großes Unternehmen, das schnell wächst, dieses Wachstumstempo nicht auf Dauer halten kann. Die größten Blue Chips mit Marktwerten in den Hunderten von Milliarden werden häufig als Beispiele für dieses Phänomen angeführt.

Wichtige Erkenntnisse

• Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass ein beobachteter Stichprobenmittelwert einer Stichprobe sich dem wahren Bevölkerungsmittelwert annähert, je größer die Stichprobe wird.
• Das Gesetz der großen Zahlen wird in der Aktienanalyse in einem anderen Sinne verwendet. Es drückt in diesem Fall die Beziehung zwischen Größe und Wachstumsraten aus.
• Für Unternehmen steht das Gesetz der großen Zahlen im Zusammenhang mit dem Konzept der Diseconomies of Scale. Kurz gesagt, ein Unternehmen, das seine Verkäufe sehr schnell steigert, wird dieses Tempo wahrscheinlich nicht auf Dauer halten können.
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• Investopedia / Julie Bang

Das Gesetz der großen Zahlen verstehen

Das Gesetz der großen Zahlen wird in der Statistik und in der Finanzwelt unterschiedlich definiert.

In der statistischen Analyse

Es ist nicht praktikabel, jede einzelne Person in einer bestimmten Bevölkerung zu befragen, um eine Theorie zu testen. Stattdessen testen Forscher eine Stichprobe der Bevölkerung. Das Gesetz der großen Zahlen besagt einfach, dass die Ergebnisse die größere Bevölkerung umso besser widerspiegeln, je größer die Stichprobe ist.

Jeder zusätzlich gesammelte Datenpunkt kann die Wahrscheinlichkeit erhöhen, dass das Ergebnis ein wahres Maß des Mittelwerts ist.

Das Gesetz der großen Zahlen bedeutet nicht, dass eine bestimmte Stichprobe oder eine Gruppe aufeinanderfolgender Stichproben immer die wahren Bevölkerungsmerkmale widerspiegelt. Es garantiert auch nicht, dass aufeinanderfolgende Stichproben den beobachteten Durchschnitt in Richtung des Bevölkerungsmittelwerts verschieben, wie es der Spielerfehlschluss nahelegt, der annimmt, dass eine zufällige Handlung, wenn sie oft genug wiederholt wird, mit größerer Wahrscheinlichkeit einen Gewinn bringt.

Im Geschäftsleben

In der Geschäftsanalyse bezieht sich das Gesetz der großen Zahlen auf Wachstumsraten im Zeitverlauf. Es deutet darauf hin, dass die prozentuale Wachstumsrate zunehmend schwerer aufrechtzuerhalten ist. Dies kann auf ein Unternehmen oder ein Produkt angewendet werden.

Dieses Phänomen tritt auf, weil der zugrunde liegende Dollarbetrag steigt, selbst wenn die prozentuale Wachstumsrate konstant bleibt.

Wichtig

Ein weiteres wichtiges Gesetz der Statistik ist das Gesetz des Durchschnitts, das besagt, dass die Verteilung der Ergebnisse in einer großen oder kleinen Stichprobe die Verteilung der Ergebnisse in der größeren Bevölkerung widerspiegelt.

Beispiel für die statistische Analyse des Gesetzes der großen Zahlen

Sie erreichen mit größerer Wahrscheinlichkeit einen genauen Durchschnitt in der statistischen Analyse, wenn Sie 20 Datenpunkte auswählen, anstatt sich auf nur zwei zu verlassen, wenn Sie beispielsweise den Durchschnittswert eines Datensatzes mit 100 möglichen Werten bestimmen möchten.

Es besteht eine größere Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Datenpunkte Ausreißer oder nicht repräsentativ für den Durchschnitt sind, und eine geringere Wahrscheinlichkeit, dass alle 20 Datenpunkte nicht repräsentativ sind.

Sie könnten den Durchschnitt auf etwa 67,5 bestimmen, wenn der Datensatz alle ganzen Zahlen von eins bis 100 enthält und Sie nur zwei Werte gezogen haben, wie z. B. 95 und 40. Der Durchschnitt sollte sich in Richtung des wahren Durchschnitts verschieben, wenn Sie mehr Datenpunkte berücksichtigen und Stichproben von bis zu 20 Variablen ziehen.

Gesetz der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz

Das Gesetz der großen Zahlen ist mit dem zentralen Grenzwertsatz in der statistischen Analyse verwandt. Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass der Stichprobenmittelwert mit zunehmender Stichprobengröße gleichmäßig verteilt wird.

Dies wird oft als glockenförmige Kurve dargestellt, bei der der Höhepunkt der Kurve der Mittelwert ist und gleichmäßige Verteilungen der Stichprobendaten links und rechts der Kurve fallen.

Das Gesetz der großen Zahlen besagt auch, dass Daten mit zunehmender Stichprobe verfeinert werden, aber das Gesetz der großen Zahlen bezieht sich eher auf die Mitte der Glockenkurve. Es zeigt an, dass der Mittelwert der Stichprobe dem Mittelwert der Bevölkerung umso ähnlicher wird, je größer die Stichprobengröße ist.

Das Gesetz der großen Zahlen bezieht sich daher auf den Höhepunkt oder Mittelwert einer Kurve. Der zentrale Grenzwertsatz bezieht sich auf die Verteilung einer Kurve.

Gesetz der großen Zahlen und Unternehmenswachstum

Der Begriff "Gesetz der großen Zahlen" wird manchmal umgangssprachlich verwendet, um die Beobachtung zu bezeichnen, dass exponentielle Wachstumsraten oft nicht skalieren. Dies hängt nicht mit dem Gesetz der großen Zahlen zusammen, sondern kann eine Folge des Gesetzes der abnehmenden Grenzerträge oder der Diseconomies of Scale sein.

Die gleichen Prinzipien können auf andere Kennzahlen wie Marktkapitalisierung oder Nettogewinn angewendet werden. Unternehmen mit einer sehr hohen Marktkapitalisierung können Schwierigkeiten haben, eine frühere Rate der Aktienkurssteigerung aufrechtzuerhalten.

Dieses Konzept kann für die Wahl zwischen Wachstums- und Substanzwerten relevant sein.

Geschäftsbeispiel zum Gesetz der großen Zahlen

Tesla meldete im Geschäftsjahr 2020 Automobilverkäufe, nicht Bruttoumsätze, in Höhe von 24.604 Millionen US-Dollar. Das Unternehmen meldete im folgenden Jahr 44.125 Millionen US-Dollar, ein Anstieg von rund 79 %.1 Elektrofahrzeuge sind ein aufstrebender Markt, und Tesla begann, Skaleneffekte zu erzielen, was zu sehr schnellem Erfolg führte.

Das Gesetz der großen Zahlen zeigt, dass es für Tesla schwieriger werden würde, dieses Produktivitätsniveau zu halten, wenn das Unternehmen weiter wächst. Es wird deutlich, dass Tesla seine derzeitige Wachstumskurve einfach nicht halten kann, da die zugrunde liegenden Dollarwerte unvernünftig werden, bei Annahme einer gleichmäßigen Wachstumsrate über mehrere Jahre.

Teslas tatsächliche Umsatzzahlen

Die obige Grafik zeigt Teslas theoretischen Jahresumsatz, wenn seine Wachstumsrate in den Jahren nach 2020 weiterhin um 79 % pro Jahr gestiegen wäre.

Tatsächlich waren seine tatsächlichen Zahlen für diese Jahre wie folgt. (Alle Daten beziehen sich auf den 31. März des Jahres.)

2021: $53.82 Milliarden, ein Anstieg von 70.67%

2022: $81.46 Milliarden, ein Anstieg von 51.35%

2023: $96,73 Milliarden, ein Anstieg von 18.8%

2024: $97.69 Milliarden, ein Anstieg von 0.95%

2025: $95.72 Milliarden, ein Anstieg von 1.03%

Teslas Umsatz für das am 31. März 2025 endende Quartal betrug $19.33 Milliarden, ein Rückgang von 9.23% im Vergleich zum Vorjahr.2

Gesetz der großen Zahlen und Versicherungen

Das Gesetz der großen Zahlen wird auch in der Versicherungsbranche häufig verwendet. Es dient zur Berechnung und Verfeinerung des prognostizierten Risikos.

Stellen Sie sich vor, eine Versicherungsgesellschaft bewertet, wie viel sie Kunden für eine Kfz-Versicherung berechnen soll. Das Unternehmen wird nicht in der Lage sein, angemessene Risikoprofile zu bestimmen, wenn es einen kleinen Datensatz hat.

Das Unternehmen erfährt das Gesetz der großen Zahlen, wenn es mehr Daten sammelt. Es könnte bald festgestellt werden, dass junge, männliche Fahrer am wahrscheinlichsten einen Unfall verursachen. Diese größere Stichprobe wird repräsentativer für Verkehrsunfälle, und die Versicherungsgesellschaft kann zu genaueren Schlussfolgerungen über die angemessenen Versicherungsprämien gelangen.

Das Gesetz der großen Zahlen ermöglicht es Versicherungsgesellschaften auch, die Kriterien zur Bewertung von Prämien tiefgreifend zu verfeinern, indem sie analysieren, welche Merkmale ein höheres Risiko verursachen.

Warum ist das Gesetz der großen Zahlen wichtig?

Das Gesetz der großen Zahlen ist in der statistischen Analyse wichtig, weil es Ihrer Stichprobengröße Gültigkeit verleiht. Die Annahmen, die Sie bei der Arbeit mit einer kleinen Datenmenge treffen, lassen sich möglicherweise nicht angemessen auf die tatsächliche Bevölkerung übertragen.

Das Gesetz der großen Zahlen ist im Geschäftsleben wichtig, wenn Ziele oder Vorgaben festgelegt werden. Ein Unternehmen könnte seinen Umsatz in einem einzigen Jahr verdoppeln. Es wird in den letzten beiden Jahren jeweils den gleichen Geldbetrag verdient haben; sollte es im nächsten Jahr nur ein Umsatzwachstum von 50 % erzielen. Prozentangaben können irreführend sein, wenn große Dollarwerte eskalieren.

Wie können Unternehmen die Herausforderung des Gesetzes der großen Zahlen bewältigen?

Unternehmen bemühen sich oft, die Herausforderung des Gesetzes der großen Zahlen zu bewältigen, indem sie kleinere Wachstumsunternehmen erwerben, die skalierbares Wachstum einbringen können.

Sie versuchen auch, effizienter zu werden, indem sie ihre Größe nutzen, um Einsparungen bei Fertigung, Bestellung und Vertrieb zu erzielen.

Unternehmen können eher auf Dollarziele als auf Prozentziele achten.

Was ist das Gesetz der kleinen Zahlen?

Das Gesetz der kleinen Zahlen ist die Theorie, dass Menschen die Variabilität in kleinen Stichprobengrößen unterschätzen. Sie überschätzen in der Regel den Wert der Bevölkerung auf der Grundlage der falschen Stichprobengröße, wenn die Stichprobengröße zu klein ist.