Gittermodell

Wichtige Erkenntnisse

• Ein gitterbasiertes Modell verwendet einen Binomialbaum, um Derivate zu bewerten, indem es die Kurspfade eines Vermögenswerts im Zeitverlauf simuliert.
• Es stellt grafisch mögliche Optionspreise zu verschiedenen Zeitpunkten während der Laufzeit eines Derivats dar.
• Gitterbasierte Modelle sind besonders nützlich bei der Bewertung von Optionen mit vorzeitiger Ausübungsmöglichkeit.
• Diese Modelle bieten mehr Flexibilität als das Black-Scholes-Modell, insbesondere bei pfadabhängigen Optionen.

Was ist ein gitterbasiertes Finanzmodell?

Ein gitterbasiertes Modell bewertet Finanzderivate, insbesondere Optionen. Es verwendet ein Verzweigungsdiagramm, den sogenannten Binomialbaum, um darzustellen, wie der Preis eines Basiswerts im Laufe der Zeit steigen oder fallen könnte. Durch die Abbildung dieser möglichen Preispfade hilft das Modell Anlegern, den Wert einer Option zu schätzen und verschiedene Ergebnisse vor dem Verfall der Option zu verstehen. Es zeigt klar mögliche Preisänderungen und Entscheidungspunkte auf, weshalb gitterbasierte Modelle in der Finanzwelt weit verbreitet sind.

Gitterbasierte Modelle im Finanzwesen verstehen

Gitterbasierte Modelle können erwartete Änderungen verschiedener Parameter wie der Volatilität über die Laufzeit der Optionen berücksichtigen. Die Volatilität ist ein Maß dafür, wie stark der Preis eines Vermögenswerts über einen bestimmten Zeitraum schwankt. Dadurch können Gitter-Modelle genauere Vorhersagen der Optionspreise liefern als das Black-Scholes-Modell, das als mathematisches Standardmodell für die Preisbildung von Optionskontrakten gilt.

Die Flexibilität des gitterbasierten Modells bei der Einbeziehung erwarteter Volatilitätsänderungen ist in bestimmten Situationen besonders nützlich, z. B. bei der Bewertung von Mitarbeiteroptionen in Unternehmen in der Frühphase. Solche Unternehmen erwarten in der Zukunft möglicherweise eine geringere Volatilität ihrer Aktienkurse, wenn ihre Geschäfte reifer werden. Diese Annahme kann in ein Gitter-Modell einfließen, was eine genauere Optionspreisbildung ermöglicht als das Black-Scholes-Modell, das von einem gleichbleibenden Volatilitätsniveau über die gesamte Laufzeit der Option ausgeht.

Das binomiale Optionspreismodell (BOPM) ist eine Gitter-Methode zur Bewertung von Optionen. Der erste Schritt des BOPM besteht darin, den Binomialbaum zu erstellen. Das BOPM basiert auf dem Basiswert über einen Zeitraum hinweg im Vergleich zu einem einzelnen Zeitpunkt. Diese Modelle werden als „Gitter" bezeichnet, da die verschiedenen im Modell visualisierten Schritte wie ein Gitter miteinander verwoben erscheinen können.

Bild von Sabrina Jiang © Investopedia 2020

Besondere Überlegungen zur gitterbasierten Modellierung

Ein Gitter-Modell ist nur eine Art von Modell, das zur Preisbildung von Derivaten verwendet wird. Der Name des Modells leitet sich vom Erscheinungsbild des Binomialbaums ab, der die möglichen Pfade des Derivatpreises darstellt. Das Black-Scholes-Modell gilt als Closed-Form-Modell, das davon ausgeht, dass das Derivat am Ende seiner Laufzeit ausgeübt wird.

Beispielsweise geht das Black-Scholes-Modell bei der Preisbildung von Aktienoptionen davon aus, dass Mitarbeiter, die Optionen mit einer Laufzeit von zehn Jahren halten, diese erst am Verfallstag ausüben. Diese Annahme wird als Schwäche des Modells angesehen, da Optionsinhaber ihre Optionen in der Realität oft lange vor ihrem Verfall ausüben.

Beispiel eines Binomialbaums in der Finanzmodellierung

Angenommen, eine Aktie hat einen Preis von 100 $, einen Optionsausübungspreis von 100 $, ein Verfallsdatum von einem Jahr und einen Zinssatz (r) von 5 %.

Am Ende des Jahres besteht eine Wahrscheinlichkeit von 50 %, dass die Aktie auf 125 $ steigt, und eine Wahrscheinlichkeit von 50 %, dass sie auf 90 $ fällt. Steigt die Aktie auf 125 $, beträgt der Wert der Option 25 $ (Aktienkurs 125 $ minus Ausübungspreis 100 $), und fällt sie auf 90 $, ist die Option wertlos.

Der Optionswert beträgt:

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Optionen und Derivate