Gleichverteilung

Was ist eine Gleichverteilung?

In der Statistik helfen Wahrscheinlichkeitsverteilungen dabei, die Wahrscheinlichkeit eines zukünftigen Ereignisses zu bestimmen – also die Wahrscheinlichkeit, dass etwas eintritt. Eine Gleichverteilung ist eine Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der die Wahrscheinlichkeit über den gesamten Bereich möglicher Werte konstant bleibt (d. h. alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich).

Ein Kartenspiel weist erwartungsgemäß eine Gleichverteilung auf, da die Wahrscheinlichkeit, Herz, Kreuz, Karo oder Pik zu ziehen, gleich groß ist. Auch eine Münze hat eine Gleichverteilungserwartung, da die Chancen für Kopf oder Zahl gleich sind.

Eine Gleichverteilung kann als gerade horizontale Linie dargestellt werden. Bei einem Münzwurf hat Kopf oder Zahl jeweils eine Wahrscheinlichkeit von 50 % (p = 0,50), sodass sie in einem Diagramm mit einer Linie von der y-Achse bei 0,50 dargestellt würde.

Wichtige Erkenntnisse

• Bei einer Gleichverteilung sind alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich.
• Bei einer diskreten Gleichverteilung sind die Ergebnisse diskret und haben die gleiche Wahrscheinlichkeit.
• Bei einer stetigen Gleichverteilung sind die Ergebnisse stetig und unendlich.
• Bei einer Normalverteilung treten Daten um den Mittelwert (Durchschnitt) häufiger auf als weiter davon entfernte.
• Gleichverteilungen können in Diagrammen dargestellt werden.
• Erhalten Sie personalisierte, KI-gestützte Antworten, die auf über 27 Jahren vertrauenswürdiger Erfahrung basieren.

Gleichverteilungen verstehen

Es gibt zwei Arten von Gleichverteilungen: diskrete und stetige.

Diskrete Gleichverteilungen

Die möglichen Ergebnisse eines Würfelwurfs sind ein Beispiel für eine diskrete Gleichverteilung. Es ist möglich, eine 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 zu würfeln, aber es ist nicht möglich, beispielsweise eine 2,3, 4,7 oder 5,5 zu würfeln. Daher erzeugt ein Würfelwurf eine diskrete Verteilung mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 für jedes Ergebnis. Es gibt nur sechs mögliche Werte und nichts dazwischen. Die Möglichkeiten sind endlich.

Kurzer Fakt

Der Begriff „diskret“ bezieht sich in der Statistik auf Variablen mit einzelnen, zählbaren und begrenzten möglichen Werten.

Stetige Gleichverteilungen

Stetige Gleichverteilungen haben unendliche Verteilungsmöglichkeiten. Ein idealisierter Zufallszahlengenerator würde als stetige Gleichverteilung betrachtet. Bei dieser Art von Verteilung hat jeder Punkt im stetigen Bereich zwischen 0,0 und 1,0 die gleiche Chance, aufzutreten, doch es gibt unendlich viele Punkte zwischen 0,0 und 1,0.

Es gibt mehrere andere wichtige stetige Verteilungen, wie die Normalverteilung, Chi-Quadrat und die Student-t-Verteilung.

Verteilungsanalyse

Es gibt auch mehrere datengenerierende oder datenanalytische Funktionen, die mit Verteilungen verbunden sind und helfen, die Variablen und ihre Varianz innerhalb eines Datensatzes zu erklären. Zu diesen Funktionen gehören die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die kumulative Dichte und die momenterzeugenden Funktionen.

Visualisierung von Gleichverteilungen

Eine Verteilung ist eine einfache Möglichkeit, einen Datensatz zu visualisieren. Sie kann entweder als Grafik oder als Liste dargestellt werden und zeigt, welche Werte einer Zufallsvariablen eine geringere oder höhere Wahrscheinlichkeit des Auftretens haben.

Bei einer Gleichverteilung hat jeder Wert in der Menge möglicher Werte die gleiche Wahrscheinlichkeit des Auftretens. Wird sie als Balken- oder Liniendiagramm dargestellt, hat diese Verteilung für jedes mögliche Ergebnis die gleiche Höhe. Auf diese Weise kann sie wie ein Rechteck aussehen und wird daher manchmal als rechteckige Verteilung bezeichnet.

Wenn Sie an die Möglichkeit denken, eine bestimmte Farbe aus einem Spielkartendeck zu ziehen, besteht die gleiche zufällige Chance, Herz zu ziehen wie Pik – also ¼ oder 25 %. (Es gibt vier Farben.)

Ein Würfelwurf ergibt eine von sechs Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5 oder 6. Da es nur 6 mögliche Ergebnisse gibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, auf eines davon zu treffen, 16,67 % (1/6). In einem Diagramm dargestellt wird die Verteilung als horizontale Linie dargestellt, wobei jedes mögliche Ergebnis auf der x-Achse am festen Punkt der Wahrscheinlichkeit auf der y-Achse erfasst wird.

Beispiel einer Gleichverteilung

In einem traditionellen Kartenspiel gibt es 52 Karten. In diesem Deck gibt es auch vier Farben: Herz, Karo, Kreuz und Pik. Jede Farbe enthält ein Ass, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun, zehn, Bube, Dame und König. Das Deck enthält auch zwei Joker. Für dieses Beispiel ignorieren wir jedoch die Joker und Bildkarten und konzentrieren uns nur auf die Zahlenkarten, die in jeder Farbe vorkommen. Dadurch bleiben 40 Karten übrig, ein Satz diskreter Daten.

Angenommen, Sie möchten die Wahrscheinlichkeit kennen, eine Herz-Zwei aus dem modifizierten Deck zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeit, eine Herz-Zwei zu ziehen, beträgt 1/40 oder 2,5 %. Jede Karte ist einzigartig. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, eine beliebige Karte aus dem Deck zu ziehen, gleich.

Betrachten wir nun die Wahrscheinlichkeit, eine Herz aus dem Deck zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeit ist deutlich höher. Warum? Wir befassen uns jetzt nur mit den Farben im Deck. Da es vier Farben gibt und jede Farbe die gleiche Anzahl Karten hat, ergibt das Ziehen einer Herz eine Wahrscheinlichkeit von ¼ oder 25 %.

Gleichverteilung vs. Normalverteilung

Einige der häufigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind:

Diskrete Gleichverteilung

Binomialverteilung

Stetige Gleichverteilung

Normalverteilung

Exponentialverteilung

Normalverteilung

Eine der am häufigsten verwendeten Verteilungen ist die Normalverteilung, die oft als Glockenkurve dargestellt wird. Normalverteilungen zeigen, wie stetige Daten verteilt sind, und stellen den Großteil der Daten als um den Mittelwert (Durchschnitt) konzentriert dar.

Bei einer Normalverteilung ist die Fläche unter der Kurve gleich eins. 68,27 % aller Daten liegen innerhalb einer Standardabweichung (wie stark die Zahlen gestreut sind) vom Mittelwert. 95,45 % aller Daten liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen vom Mittelwert, und ungefähr 99,73 % aller Daten liegen innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert.1 Je weiter die Datenpunkte vom Mittelwert entfernt sind, desto geringer wird die Häufigkeit des Auftretens von Daten.

Gleichverteilung

Die diskrete Gleichverteilung zeigt, dass Variablen in einem Bereich die gleiche Wahrscheinlichkeit des Auftretens haben. Es gibt keine Abweichungen bei den wahrscheinlichen Ergebnissen, und die Daten sind diskret und nicht stetig. Ihre Form ähnelt einem Rechteck, nicht der Glocke der Normalverteilung. Wie bei einer Normalverteilung ist jedoch die Fläche unter der Grafik gleich eins.

Erklärt, als ob ich 5 Jahre alt wäre

Bei einer Gleichverteilung ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis genauso hoch wie für ein anderes. Nehmen Sie zum Beispiel einen sechsseitigen Würfel. Die Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu würfeln, ist genauso hoch wie die, eine 2 (oder 3, 4, 5 oder 6) zu würfeln.

Wie lautet die Formel für eine Gleichverteilung?

Die Formel für eine diskrete Gleichverteilung lautet

Px=1nwobei:Px=Wahrscheinlichkeit eines diskreten Wertesn=Anzahl der Werte im Bereich\begin{aligned}&P_x = \frac{ 1 }{ n } \\&\textbf{wobei:} \\&P_x = \text{Wahrscheinlichkeit eines diskreten Wertes} \\&n = \text{Anzahl der Werte im Bereich} \\\end{aligned}​Px​=n1​wobei:Px​=Wahrscheinlichkeit eines diskreten Wertesn=Anzahl der Werte im Bereich​

Ist eine Gleichverteilung normal?

Nein, eine Gleichverteilung ist nicht normal. Normal, was sich auf die Art und Weise bezieht, wie Daten um den Mittelwert (Durchschnitt) verteilt sind, zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Variable um den Mittelwert auftritt, höher ist als für eine Variable weit entfernt vom Mittelwert. Die Auftrittswahrscheinlichkeit ist bei normalen Daten nicht gleichverteilt, während sie bei einer Gleichverteilung konstant ist.

Was ist die Erwartung einer Gleichverteilung?

Die Erwartung bei einer Gleichverteilung ist, dass alle möglichen Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Die Wahrscheinlichkeit für eine Variable ist dieselbe wie für eine andere.