Harmonisches Mittel

Was ist das harmonische Mittel?

Das harmonische Mittel ist ein Durchschnitt, der sehr nützlich ist, wenn er zur Mittelung von Vielfachen wie dem Kurs-Gewinn-Verhältnis verwendet wird.

Er wird berechnet, indem die Anzahl der Werte in einer Reihe durch die Summe der Kehrwerte jeder Zahl geteilt wird. Das harmonische Mittel ist somit der Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte.

Wichtige Erkenntnisse

• Das harmonische Mittel ist der Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte.
• Es wird im Finanzwesen verwendet, um Daten wie Kursmultiplikatoren zu mitteln.
• Das harmonische Mittel gewichtet jeden Wert in einer Reihe gleich, während das gewichtete harmonische Mittel unterschiedliche Gewichte entsprechend der Bedeutung eines Werts zuweist.
• Das harmonische Mittel wird auch von Markttechnikern verwendet, um Muster wie Fibonacci-Folgen zu identifizieren.
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Formel und Berechnung

Um ein harmonisches Mittel zu berechnen, nehmen Sie den Kehrwert jeder Zahl in einer Reihe. Addieren Sie diese. Teilen Sie dann die Anzahl der Werte in der Reihe durch diese Summe.

Um zum Beispiel das harmonische Mittel von 1, 4 und 4 zu berechnen, nehmen Sie den Kehrwert jeder Zahl. Summieren Sie diese. Teilen Sie dann die Anzahl der Werte durch diese Summe, wie folgt:

3(11 + 14 + 14) = 31.5 = 2\frac{3}{\left(\frac{1}{1}\ +\ \frac{1}{4}\ +\ \frac{1}{4}\right)}\ =\ \frac{3}{1.5}\ =\ 2(11​ + 41​ + 41​)3​ = 1.53​ = 2

Das harmonische Mittel von 1, 4 und 4 ist 2.

Wichtig

Der Kehrwert einer Zahl n ist einfach 1 / n.

Verwendung des harmonischen Mittels

Das harmonische Mittel hat Anwendungen im Finanzwesen und in der technischen Analyse von Wertpapiermärkten. Es hilft, multiplikative oder divisorische Beziehungen zwischen Brüchen zu finden, ohne sich um gemeinsame Nenner sorgen zu müssen.

Das harmonische Mittel wird auch verwendet, wenn Raten gemittelt werden, wie zum Beispiel die durchschnittliche Reisegeschwindigkeit über mehrere Fahrten.

Insbesondere wird das harmonische Mittel verwendet, um Multiplikatoren (wie das Kurs-Gewinn-Verhältnis (P/E)) zu mitteln, da es jedem Datenpunkt das gleiche Gewicht gibt. Es wird angenommen, dass das Ergebnis aufgrund der gleichen Behandlung weniger verzerrt und genauer ist.

Es gibt auch ein gewichtetes harmonisches Mittel, das bestimmte Werte stärker gewichtet als andere, wenn bekannt ist, dass sie eine größere Bedeutung haben.

Das gewichtete harmonische Mittel von x1, x2, x3 mit den entsprechenden Gewichten w1, w2, w3 ist gegeben als:

∑i=1nwi∑i=1nwixi\displaystyle{\frac{\sum^n_{i=1}w_i}{\sum^n_{i=1}\frac{w_i}{x_i}}}∑i=1n​xi​wi​​∑i=1n​wi​​

Arithmetisches Mittel und geometrisches Mittel

Drei Arten von Mittelwerten, das harmonische, arithmetische und geometrische, werden als pythagoreische Mittel bezeichnet. Die Unterschiede zwischen den drei Arten pythagoreischer Mittel machen sie für verschiedene Anwendungen geeignet.

Ein arithmetischer Durchschnitt ist die Summe einer Zahlenreihe geteilt durch die Anzahl dieser Zahlenreihe.

Um den Klassen-(arithmetischen) Durchschnitt der Testergebnisse zu ermitteln, addieren Sie einfach alle Testergebnisse der Schüler und teilen dann diese Summe durch die Anzahl der Schüler.

Ein gewichtetes arithmetisches Mittel gibt hohen Datenpunkten mehr Gewicht als niedrigen Datenpunkten (z. B. im Finanzwesen, weil P/E ratios nicht preisnormalisiert sind, während die Gewinne gleichgesetzt werden).

Das geometrische Mittel ist der Durchschnitt einer Menge von Produkten, dessen Berechnung häufig verwendet wird, um die Performance-Ergebnisse einer Anlage oder eines Portfolios zu ermitteln.

Es ist technisch definiert als "das n-te Wurzelprodukt von n Zahlen". Das geometrische Mittel muss verwendet werden, wenn mit Prozentwerten gearbeitet wird, die von Werten abgeleitet sind, während das standardmäßige arithmetische Mittel mit den Werten selbst arbeitet.

Kurzer Fakt

Das harmonische Mittel eignet sich am besten für Brüche wie Raten oder Multiplikatoren.

Beispiel für das harmonische Mittel

Ein Unternehmen hat eine Marktkapitalisierung von $100 Milliarden und einen Gewinn von $4 Milliarden (P/E von 25), ein anderes Unternehmen hat eine Marktkapitalisierung von $1 Milliarde und einen Gewinn von $4 Millionen (P/E von 250).

Angenommen, Sie möchten das durchschnittliche P/E-Verhältnis für einen Index ermitteln, der aus diesen beiden Aktien besteht. Bei einer Investition von 10 % in das erste Unternehmen und 90 % in das zweite würden Sie die Formel des gewichteten harmonischen Mittels für Ihre Berechnung verwenden.

Vergleichen wir auch das gewichtete harmonische Mittel mit dem gewichteten arithmetischen Mittel, um zu sehen, wie sie sich unterscheiden.

Das durchschnittliche P/E-Verhältnis des Index ist:

Verwendung des WAM: P/E = 0.1×25+0.9×250 = 227.5Verwendung des WHM: P/E = 0.1 + 0.90.125 + 0.9250 ≈ 131.6wobei:WAM=gewichtetes arithmetisches MittelP/E=Kurs-Gewinn-VerhältnisWHM=gewichtetes harmonisches Mittel\begin{aligned}&\text{Verwendung des WAM:\ P/E}\ =\ 0.1 \times25+0.9\times250\ =\ 227.5\\\\&\text{Verwendung des WHM:\ P/E}\ =\ \frac{0.1\ +\ 0.9}{\frac{0.1}{25}\ +\ \frac{0.9}{250}}\ \approx\ 131.6\\&\textbf{wobei:}\\&\text{WAM}=\text{gewichtetes arithmetisches Mittel}\\&\text{P/E}=\text{Kurs-Gewinn-Verhältnis}\\&\text{WHM}=\text{gewichtetes harmonisches Mittel}\end{aligned}​Verwendung des WAM: P/E = 0.1×25+0.9×250 = 227.5Verwendung des WHM: P/E = 250.1​ + 2500.9​0.1 + 0.9​ ≈ 131.6wobei:WAM=gewichtetes arithmetisches MittelP/E=Kurs-Gewinn-VerhältnisWHM=gewichtetes harmonisches Mittel​

Das gewichtete arithmetische Mittel überschätzt das durchschnittliche Kurs-Gewinn-Verhältnis erheblich.

Vorteile und Nachteile

Das harmonische Mittel bezieht alle Einträge in einer Reihe ein und ist unmöglich zu berechnen, wenn ein Element ausgeschlossen ist.

Die Verwendung des gewichteten harmonischen Mittels ermöglicht eine stärkere Gewichtung kleinerer Werte in der Reihe, und es kann auch für eine Reihe berechnet werden, die negative Werte enthält.

Im Vergleich zum arithmetischen Mittel und geometrischen Mittel erzeugt das harmonische Mittel eine geradere Kurve.

Allerdings gibt es auch einige Nachteile bei der Verwendung des harmonischen Mittels. Es erfordert die Verwendung der Kehrwerte der Zahlen in der Reihe, sodass die Berechnung des harmonischen Mittels komplex und zeitaufwändig sein kann.

Es ist auch nicht möglich, das harmonische Mittel zu berechnen, wenn die Reihe einen Nullwert enthält.

Schließlich haben extreme Werte am oberen oder unteren Ende der Reihe einen starken Einfluss auf die Ergebnisse des harmonischen Mittels.

Was ist der Unterschied zwischen harmonischem Mittel und arithmetischem Mittel?

Das harmonische Mittel wird berechnet, indem die Anzahl der Werte in einer Reihe durch den Kehrwert jeder Zahl geteilt wird. Im Gegensatz dazu ist das arithmetische Mittel die Summe einer Zahlenreihe geteilt durch die Anzahl der Werte in dieser Reihe. Das harmonische Mittel ist gleich dem Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte.

Wann wird das harmonische Mittel verwendet?

Das harmonische Mittel eignet sich am besten für Brüche wie Raten oder Multiplikatoren. Es wird im Finanzwesen verwendet, um Kursmultiplikatoren wie das Kurs-Gewinn-Verhältnis (P/E) zu mitteln. Markttechniker können das harmonische Mittel auch verwenden, um Muster wie Fibonacci-Folgen zu identifizieren.

Was beeinflusst die Berechnung des harmonischen Mittels?

Das harmonische Mittel bezieht alle Einträge in einer Reihe ein und ermöglicht eine stärkere Gewichtung kleinerer Werte. Das harmonische Mittel kann für eine Reihe berechnet werden, die negative Werte enthält, obwohl es unmöglich ist, es zu berechnen, wenn die Reihe einen Wert von Null enthält.