Heston Model

Wichtige Erkenntnisse

• Das Heston-Modell ist ein Werkzeug zur Bewertung europäischer Optionen unter Verwendung stochastischer Volatilität anstelle konstanter Volatilität.
• Dieses Modell berücksichtigt die Korrelation zwischen dem Aktienkurs und seiner Volatilität, was eine dynamischere Preisgestaltung ermöglicht.
• Im Gegensatz zu Black-Scholes erfordert das Heston-Modell nicht, dass Aktienkurse einer Lognormalverteilung folgen.
• Das Heston-Modell bietet eine geschlossene Lösung, die eine präzise, formelgesteuerte Optionspreisbestimmung ermöglicht.
• Sowohl das Heston- als auch das Black-Scholes-Modell sind auf europäische Optionen beschränkt, die nur bei Fälligkeit ausgeübt werden können.

Was ist das Heston-Modell?

Das Heston-Modell, entwickelt von Steve Heston im Jahr 1992, ist ein stochastisches Volatilitätsmodell zur Bewertung europäischer Optionen. Im Gegensatz zum Black-Scholes-Modell, das konstante Volatilität annimmt, erlaubt das Heston-Modell, dass die Volatilität im Laufe der Zeit schwankt, was das Marktverhalten realistischer widerspiegelt. Aufbauend auf einem System mathematischer Gleichungen, die sowohl Preis als auch Varianz modellieren, wird es von fortgeschrittenen Anlegern und Analysten auf den Finanzmärkten häufig eingesetzt.

Erkundung der Merkmale und Annahmen des Heston-Modells

Das Heston-Modell, entwickelt von außerordentlichem Finanzprofessor Steven Heston im Jahr 1993, ist ein Optionspreismodell, das zur Bewertung von Optionen auf verschiedene Wertpapiere verwendet werden kann. Es ist vergleichbar mit dem bekannteren Black-Scholes-Optionspreismodell.1

Insgesamt werden Optionspreismodelle von fortgeschrittenen Anlegern verwendet, um den Preis einer bestimmten Option zu schätzen und zu bewerten, die auf einem Basiswert auf dem Finanzmarkt gehandelt wird. Optionen haben, genau wie ihr Basiswert, Preise, die sich im Laufe des Handelstages ändern. Optionspreismodelle versuchen, die Variablen zu analysieren und zu integrieren, die Schwankungen der Optionspreise verursachen, um den besten Optionspreis für eine Investition zu ermitteln.

Als stochastisches Volatilitätsmodell verwendet das Heston-Modell statistische Methoden zur Berechnung und Prognose von Optionspreisen unter der Annahme, dass die Volatilität willkürlich ist. Die Annahme, dass die Volatilität willkürlich und nicht konstant ist, ist der Schlüsselfaktor, der stochastische Volatilitätsmodelle einzigartig macht. Andere Arten stochastischer Volatilitätsmodelle sind das SABR-Modell, das Chen-Modell und das GARCH-Modell.

Unterscheidung des Heston-Modells von anderen stochastischen Modellen

Das Heston-Modell hat Eigenschaften, die es von anderen stochastischen Volatilitätsmodellen unterscheiden, nämlich:

Es berücksichtigt eine mögliche Korrelation zwischen dem Aktienkurs und seiner Volatilität.

Es beschreibt die Volatilität als mittelwertrückkehrend.

Es liefert eine geschlossene Lösung, was bedeutet, dass die Antwort aus einer anerkannten Menge mathematischer Operationen abgeleitet wird.

Es erfordert nicht, dass Aktienkurse einer lognormalen Wahrscheinlichkeitsverteilung folgen.

Das Heston-Modell ist auch eine Art Volatilitätslächeln-Modell. "Lächeln" bezieht sich auf das Volatilitätslächeln, eine grafische Darstellung mehrerer Optionen mit identischen Verfallsdaten, die eine zunehmende Volatilität zeigen, je mehr die Optionen im Geld (ITM) oder aus dem Geld (OTM) sind. Der Name des Lächeln-Modells leitet sich von der konkaven Form des Graphen ab, die einem Lächeln ähnelt.

Detaillierte Methodik des Heston-Modells

Das Heston-Modell ist eine geschlossene Lösung zur Bewertung von Optionen, die versucht, einige der im Black-Scholes-Optionspreismodell dargestellten Mängel zu überwinden. Das Heston-Modell ist ein Werkzeug für fortgeschrittene Anleger.

Die Berechnung lautet wie folgt:

dSt=rStdt+VtStdW1tdVt=k(θ−Vt)dt+σVtdW2twobei:St=Aktienpreis zum Zeitpunkt tr=risikofreier Zinssatz – theoretischer Zinssatz für einen Vermögenswert ohne RisikoVt=Volatilität (Standardabweichung) des Aktienpreisesσ=Volatilität von Vtθ=langfristige Preisvarianzk=Rückführungsrate zu θdt=unendlich kleiner positiver ZeitinkrementW1t=Brownsche Bewegung des AktienpreisesW2t=Brownsche Bewegung der Preisvarianz des Vermögenswerts\begin{aligned} &dS_t = rS_tdt + \sqrt{ V_t } S_tdW_{1t} \\ &dV_t = k ( \theta - V_t ) dt+ \sigma \sqrt{ V_t } dW_{2t} \\ &\textbf{wobei:} \\ &S_t = \text{Aktienpreis zum Zeitpunkt } t \\ &r = \text{risikofreier Zinssatz -- theoretischer Zinssatz für einen} \\ &\text{Vermögenswert ohne Risiko} \\ &\sqrt{ V_t } = \text{Volatilität (Standardabweichung) des Aktienpreises} \\ &\sigma = \text{Volatilität von } \sqrt{ V_t } \\ &\theta = \text{langfristige Preisvarianz} \\ &k = \text{Rückführungsrate zu } \theta \\ &dt = \text{unendlich kleiner positiver Zeitinkrement} \\ &W_{1t} = \text{Brownsche Bewegung des Aktienpreises} \\ &W_{2t} = \text{Brownsche Bewegung der Preisvarianz des Vermögenswerts} \\ \end{aligned}​dSt​=rSt​dt+Vt​​St​dW1t​dVt​=k(θ−Vt​)dt+σVt​​dW2t​wobei:St​=Aktienpreis zum Zeitpunkt tr=risikofreier Zinssatz – theoretischer Zinssatz für einenVermögenswert ohne RisikoVt​​=Volatilität (Standardabweichung) des Aktienpreisesσ=Volatilität von Vt​​θ=langfristige Preisvarianzk=Rückführungsrate zu θdt=unendlich kleiner positiver ZeitinkrementW1t​=Brownsche Bewegung des AktienpreisesW2t​=Brownsche Bewegung der Preisvarianz des Vermögenswerts​

Vergleich des Heston-Modells mit Black-Scholes

Das Black-Scholes-Modell zur Optionspreisbestimmung wurde in den 1970er Jahren eingeführt und diente als eines der ersten Modelle, um Anlegern zu helfen, einen Preis für eine Option auf ein Wertpapier abzuleiten. Im Allgemeinen trug es zur Förderung von Optionsinvestitionen bei, da es ein Modell zur Analyse der Preise von Optionen auf verschiedene Wertpapiere schuf.

Sowohl das Black-Scholes- als auch das Heston-Modell basieren auf zugrunde liegenden Berechnungen, die durch fortgeschrittenes Excel oder andere quantitative Systeme codiert und programmiert werden können. Die Black-Scholes-Formel für Call-Optionen wird berechnet, indem der Aktienkurs mit der kumulativen Standardnormalverteilungsfunktion multipliziert wird.

Danach wird der Nettobarwert (NPV) des Ausübungspreises, multipliziert mit der kumulativen Standardnormalverteilung, vom resultierenden Wert der vorherigen Berechnung abgezogen.

In mathematischer Notation,

Umgekehrt könnte der Wert einer Put-Option mit der folgenden Formel berechnet werden:

In beiden Formeln ist S der Aktienkurs, K der Ausübungspreis, r der risikofreie Zinssatz und T die Restlaufzeit.

Die Formel für d1 lautet:

Die Formel für d2 lautet:

Wichtige Überlegungen zur Verwendung des Heston-Modells

Das Heston-Modell ist bemerkenswert, weil es versucht, eine der Hauptbeschränkungen des Black-Scholes-Modells zu beheben, das die Volatilität als konstant annimmt. Die Verwendung stochastischer Variablen im Heston-Modell liefert die Vorstellung, dass die Volatilität nicht konstant, sondern willkürlich ist.

Sowohl das grundlegende Black-Scholes-Modell als auch das Heston-Modell liefern immer noch nur Optionspreisschätzungen für europäische Optionen, also Optionen, die nur am Verfallsdatum ausgeübt werden können. Es wurden verschiedene Forschungen und Modelle zur Bewertung amerikanischer Optionen mit sowohl Black-Scholes als auch dem Heston-Modell untersucht. Diese Variationen liefern Schätzungen für Optionen, die an jedem Datum bis zum Verfallsdatum ausgeübt werden können, wie es bei amerikanischen Optionen der Fall ist.