Korrelationskoeffizient

Was ist der Korrelationskoeffizient?

Der Korrelationskoeffizient quantifiziert die Stärke und Richtung einer linearen Beziehung zwischen zwei Variablen und ist entscheidend für die Bewertung von Anlagerisiken und die Optimierung von Portfolios. Mit Werten zwischen -1 und 1 bietet er Einblicke, wie Variablen zusammenwirken – wesentlich für Anleger, die Diversifikation verbessern und Volatilität steuern möchten.

Wichtige Erkenntnisse

• Der Korrelationskoeffizient reicht von -1 bis 1 und gibt die Stärke und Richtung einer linearen Beziehung zwischen zwei Variablen an.
• Ein Pearson-Korrelationskoeffizient von 1 zeigt eine perfekte positive Korrelation, während -1 eine perfekte negative Korrelation anzeigt.
• Im Investmentbereich helfen Korrelationskoeffizienten bei der Bewertung der Portfoliodiversifikation und beim Risikomanagement, indem sie die potenziellen Auswirkungen neuer Anlagen aufzeigen.
• Der Korrelationskoeffizient kann zwar lineare Beziehungen messen, aber keine Kausalität bestimmen oder nicht-lineare Beziehungen bewerten.
• In verschiedenen Fachgebieten gibt es unterschiedliche Schwellenwerte für eine signifikante Korrelation, wobei in der Physik oft strengere Kriterien gelten als in den Sozialwissenschaften.
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Tiefer Einblick in den Korrelationskoeffizienten

Es werden verschiedene Arten von Korrelationskoeffizienten verwendet, um die Korrelation basierend auf den Eigenschaften der verglichenen Daten zu bewerten. Der gebräuchlichste ist der Pearson-Koeffizient, "Pearson's R", der misst, wie zwei Variablen hinsichtlich Stärke und Richtung linear zusammenhängen.

Der Pearson-Koeffizient verwendet eine mathematisch-statistische Formel, um zu messen, wie eng die Datenpunkte, die die beiden Variablen kombinieren (mit den Werten einer Datenreihe auf der x-Achse und den entsprechenden Werten der anderen Reihe auf der y-Achse), der besten Anpassungsgerade (Regressionsgerade) entsprechen. Die beste Anpassungsgerade kann durch Regressionsanalyse ermittelt werden.

Wichtig

Der Pearson-Koeffizient kann keine nichtlinearen Beziehungen bewerten oder zwischen abhängigen und unabhängigen Variablen unterscheiden.

Je weiter der Koeffizient von Null entfernt ist, egal ob positiv oder negativ, desto besser ist die Anpassung und desto größer ist die Korrelation. Die Werte -1 (für eine negative Korrelation) und 1 (für eine positive) beschreiben perfekte Anpassungen, bei denen alle Datenpunkte in einer geraden Linie liegen, was bedeutet, dass die Variablen perfekt korreliert sind.

Das bedeutet, dass der Wert einer Variablen aus dem Wert der anderen vorhergesagt werden kann. Je näher der Korrelationskoeffizient an Null liegt, desto schwächer ist die Korrelation, bis bei Null überhaupt keine lineare Beziehung mehr besteht.

Die Bewertung der Korrelationsstärke auf Basis des Korrelationskoeffizienten variiert je nach Anwendung. In der Physik und Chemie sollte ein Korrelationskoeffizient niedriger als -0,9 oder höher als 0,9 sein, damit die Korrelation als aussagekräftig gilt, während in den Sozialwissenschaften die Schwelle bei -0,5 bis 0,5 liegen kann.

Bei Korrelationskoeffizienten, die aus Stichproben gewonnen werden, hängt die Bestimmung der statistischen Signifikanz vom p-Wert ab, der aus der Größe der Datenstichprobe sowie dem Wert des Koeffizienten berechnet wird.

So berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten

Um die Pearson-Korrelation zu berechnen, ermitteln Sie zunächst die Standardabweichung jeder Variable sowie die Kovarianz zwischen ihnen. Der Korrelationskoeffizient ist die Kovarianz dividiert durch das Produkt der Standardabweichungen der beiden Variablen.

ρxy=Cov(x,y)σxσywhere:ρxy=Pearson product-moment correlation coefficientCov(x,y)=covariance of variables x and yσx=standard deviation of xσy=standard deviation of y\begin{aligned} &\rho_{xy} = \frac { \text{Cov} ( x, y ) }{ \sigma_x \sigma_y } \\ &\textbf{where:} \\ &\rho_{xy} = \text{Pearson product-moment correlation coefficient} \\ &\text{Cov} ( x, y ) = \text{covariance of variables } x \text{ and } y \\ &\sigma_x = \text{standard deviation of } x \\ &\sigma_y = \text{standard deviation of } y \\ \end{aligned}​ρxy​=σx​σy​Cov(x,y)​where:ρxy​=Pearson product-moment correlation coefficientCov(x,y)=covariance of variables x and yσx​=standard deviation of xσy​=standard deviation of y​

Die Standardabweichung misst die Streuung der Daten um ihren Mittelwert. Die Kovarianz zeigt, ob die beiden Variablen tendenziell in die gleiche Richtung gehen, während der Korrelationskoeffizient die Stärke dieser Beziehung auf einer normalisierten Skala von -1 bis 1 misst.

Diese Formel wird weiter wie folgt detailliert:

r=n×(∑(X,Y)−(∑(X)×∑(Y)))(n×∑(X2)−∑(X)2)×(n×∑(Y2)−∑(Y)2)where:r=Correlation coefficientn=Number of observations\begin{aligned}&r = \frac { n \times ( \sum (X, Y) - ( \sum (X) \times \sum (Y) ) ) }{ \sqrt { ( n \times \sum (X ^ 2) - \sum (X) ^ 2 ) \times ( n \times \sum( Y ^ 2 ) - \sum (Y) ^ 2 ) } } \\&\textbf{where:}\\&r=\text{Correlation coefficient}\\&n=\text{Number of observations}\end{aligned}​r=(n×∑(X2)−∑(X)2)×(n×∑(Y2)−∑(Y)2)​n×(∑(X,Y)−(∑(X)×∑(Y)))​where:r=Correlation coefficientn=Number of observations​​

Anwendung von Korrelationsstatistiken in Anlagestrategien

Der Korrelationskoeffizient ist besonders hilfreich bei der Bewertung und Steuerung von Anlagerisiken. So schlägt die moderne Portfoliotheorie vor, dass Diversifikation die Volatilität der Renditen eines Portfolios verringern und das Risiko senken kann. Der Korrelationskoeffizient zwischen historischen Renditen kann darauf hinweisen, ob die Aufnahme einer Anlage in ein Portfolio dessen Diversifikation verbessert.

Korrelationsberechnungen sind ein Schlüsselelement im Faktor-Investing, bei dem ein Portfolio auf der Grundlage von Faktoren aufgebaut wird, die mit Überrenditen verbunden sind. Quantitative Händler nutzen historische Korrelationen und Korrelationskoeffizienten, um kurzfristige Änderungen der Wertpapierpreise vorherzusagen.

Wichtige Einschränkungen des Pearson-Korrelationskoeffizienten

Korrelation impliziert keine Kausalität, wie das Sprichwort sagt, und der Pearson-Koeffizient kann nicht bestimmen, ob eine der korrelierten Variablen von der anderen abhängig ist.

Er zeigt auch nicht, wie viel der Variation der abhängigen Variablen auf die unabhängige Variable zurückzuführen ist. Dies wird durch das Bestimmtheitsmaß (auch bekannt als „R-squared“) angezeigt, das einfach das Quadrat des Korrelationskoeffizienten ist.

Der Korrelationskoeffizient beschreibt nicht die Steigung der besten Anpassungsgerade, die mittels Regressionsanalyse ermittelt wird.

Der Pearson-Korrelationskoeffizient kann nicht zur Bewertung nichtlinearer Zusammenhänge oder solcher aus Stichproben verwendet werden, die nicht einer Normalverteilung unterliegen. Er kann auch durch Ausreißer verzerrt werden – Datenpunkte, die weit außerhalb des Streudiagramms einer Verteilung liegen.

Diese Beziehungen können mit nichtparametrischen Methoden analysiert werden, wie dem Spearman’s correlation coefficient, dem Kendall rank correlation coefficient oder dem polychoric correlation coefficient.

So finden Sie Korrelationskoeffizienten in Excel

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Korrelation in Excel zu berechnen. Der einfachste Weg ist, zwei Datenreihen in benachbarte Spalten einzugeben und die integrierte Korrelationsformel zu verwenden:

Wenn Sie eine Korrelationsmatrix über eine Reihe von Datensätzen erstellen möchten, verfügt Excel über ein Datenanalyse-Add-In. Um es zu nutzen, müssen Sie zunächst das Datenanalyse-ToolPak aktivieren. Dies geschieht, indem Sie auf "file" und dann auf "options" klicken, wodurch das Dialogfeld "Excel options" geöffnet wird. Klicken Sie im Dialogfeld auf "add-ins" und dann im Dropdown-Menü "manage" auf "Excel add-ins" und anschließend auf "go". Dadurch wird das Add-Ins-Fenster angezeigt. Aktivieren Sie das Kontrollkästchen für "analysis ToolPak" und klicken Sie dann auf "ok". Der Aktivierungsvorgang sollte nun abgeschlossen sein.

Um das Datenanalyse-Add-In zu verwenden, klicken Sie auf das Register "data" und wählen Sie dann "data analysis". Es öffnet sich ein Fenster. Klicken Sie darin auf "correlation" und dann auf "ok". Das Korrelationsfenster wird nun geöffnet und Sie können die Eingabebereiche eingeben, entweder manuell oder durch Auswahl der entsprechenden Zellen.

In diesem Fall sind unsere Spalten benannt, daher möchten wir das Kontrollkästchen "labels in first row" aktivieren, damit Excel diese als Titel behandelt. Anschließend können Sie wählen, ob die Ausgabe auf dem gleichen Blatt oder einem neuen Blatt erfolgen soll.

Drücken der Eingabetaste erzeugt die Korrelationsmatrix. Sie können Text hinzufügen und eine bedingte Formatierung anwenden, um das Ergebnis zu bereinigen.

Sind R und R2 dasselbe?

Nein, R und R2 sind nicht dasselbe bei der Analyse von Koeffizienten. R repräsentiert den Wert des Pearson-Korrelationskoeffizienten, der zur Angabe von Stärke und Richtung zwischen Variablen verwendet wird, während R2 das Bestimmtheitsmaß (R-squared) darstellt, das die Stärke eines Modells bestimmt.

Wie berechnet man den Korrelationskoeffizienten?

Der Korrelationskoeffizient wird berechnet, indem die Kovarianz der Variablen ermittelt und diese Zahl durch das Produkt der Standardabweichungen dieser Variablen dividiert wird.

Wie wird der Korrelationskoeffizient in der Anlage verwendet?

Korrelationskoeffizienten spielen eine Schlüsselrolle bei der Bewertung von Portfoliorisiken und quantitativen Handelsstrategien. Einige Portfoliomanager überwachen beispielsweise die Korrelationskoeffizienten ihrer Bestände, um die Volatilität und das Risiko eines Portfolios zu begrenzen.