Lineare Beziehung

Wichtige Erkenntnisse

• Eine lineare Beziehung wird durch eine gerade Linie in einem Diagramm dargestellt.
• Wenn eine Variable zunimmt, ändert sich die andere proportional.
• Diese Beziehung wird grafisch dargestellt oder mathematisch beschrieben.

Was ist eine lineare Beziehung?

Eine lineare Beziehung (oder linearer Zusammenhang) bezeichnet eine Beziehung zwischen zwei Variablen, die durch eine gerade Linie in einem Diagramm dargestellt werden kann. Wenn eine Variable steigt oder fällt, tut die andere dies proportional. Diese Beziehung kann grafisch dargestellt oder mathematisch mit einer Gleichung beschrieben werden.

Lineare Beziehungen sind in der Statistik, Wirtschaft und im Alltag üblich. Sie werden oft mit nichtlinearen Beziehungen verglichen, bei denen Variablen auf komplexere oder gekrümmte Weise zusammenhängen.

Investopedia / Yurle Villegas

Formel für eine lineare Beziehung

Mathematisch gesehen erfüllt eine lineare Beziehung die Gleichung:

y=mx+bwobei:m=Steigungb=y-Achsenabschnitt\begin{aligned} &y = mx + b \\ &\textbf{wobei:}\\ &m=\text{Steigung}\\ &b=\text{y-Achsenabschnitt}\\ \end{aligned}​

In dieser Gleichung sind „x“ und „y“ zwei Variablen, die durch die Parameter „m“ und „b“ verbunden sind. Grafisch wird y = mx + b in der x-y-Ebene als eine Linie mit Steigung „m“ und y-Achsenabschnitt „b“ dargestellt. Der y-Achsenabschnitt „b“ ist einfach der Wert von „y“ bei x=0. Die Steigung „m“ wird aus zwei beliebigen Punkten (x1, y1) und (x2, y2) wie folgt berechnet:

m=(y2−y1)(x2−x1)m = \frac{(y_2 - y_1)}{(x_2 - x_1)}m=(x2​−x1​)(y2​−y1​)​

Was sagt Ihnen eine lineare Beziehung?

Es gibt drei Kriteriensätze, die eine Gleichung erfüllen muss, um als linear zu gelten:

Eine Gleichung, die eine lineare Beziehung ausdrückt, darf nicht mehr als zwei Variablen enthalten.

Alle Variablen in einer Gleichung müssen in der ersten Potenz vorkommen.

Die Gleichung muss als gerade Linie graphisch dargestellt werden.

Eine häufig verwendete lineare Beziehung ist eine Korrelation, die beschreibt, wie nahe an einer linearen Weise sich eine Variable in Bezug auf Änderungen einer anderen Variable ändert.

In der Ökonometrie ist die lineare Regression eine häufig verwendete Methode zur Erzeugung linearer Beziehungen zur Erklärung verschiedener Phänomene. Sie wird oft verwendet, um Ereignisse aus der Vergangenheit zu extrapolieren und Vorhersagen für die Zukunft zu treffen. Allerdings sind nicht alle Beziehungen linear. Einige Daten beschreiben Beziehungen, die gekrümmt sind (wie polynomiale Beziehungen), während andere Daten nicht parametrisiert werden können.

Lineare Funktionen

Mathematisch ähnlich zu einer linearen Beziehung ist das Konzept einer linearen Funktion. In einer Variablen kann eine lineare Funktion wie folgt geschrieben werden:

f(x)=mx+bwobei:m=Steigungb=y-Achsenabschnitt\begin{aligned} &f(x) = mx + b \\ &\textbf{wobei:}\\ &m=\text{Steigung}\\ &b=\text{y-Achsenabschnitt}\\ \end{aligned}​

Dies ist identisch mit der gegebenen Formel für eine lineare Beziehung, außer dass das Symbol f(x) anstelle von y verwendet wird. Diese Ersetzung wird vorgenommen, um die Bedeutung hervorzuheben, dass x auf f(x) abgebildet wird, während die Verwendung von y lediglich anzeigt, dass x und y zwei Größen sind, die durch A und B verbunden sind.

Im Studium der linearen Algebra werden die Eigenschaften linearer Funktionen ausführlich untersucht und rigoros gemacht. Gegeben ein Skalar C und zwei Vektoren A und B aus R^N, besagt die allgemeinste Definition einer linearen Funktion:

c×f(A+B)=c×f(A)+c×f(B)c \times f(A +B) = c \times f(A) + c \times f(B)c×f(A+B)=c×f(A)+c×f(B)

Beispiele für lineare Beziehungen

Geschwindigkeit und Entfernung

Lineare Beziehungen sind im Alltag recht häufig. Nehmen Sie zum Beispiel das Konzept der Geschwindigkeit. Die zur Berechnung der Geschwindigkeit verwendete Formel lautet: Die Geschwindigkeit ist die zurückgelegte Strecke pro Zeit. Wenn jemand mit einem Minivan zwischen Sacramento und Marysville in Kalifornien auf einer 44,1 Meilen langen Strecke auf dem Highway 99 unterwegs ist und die gesamte Fahrt etwa 45 Minuten dauert, wird er mit knapp unter 60 mph gefahren sein.

Obwohl es mehr als zwei Variablen in dieser Gleichung gibt, ist es dennoch eine lineare Gleichung, weil eine der Variablen immer eine Konstante ist (Entfernung).

Entfernung = Geschwindigkeit × Zeit

Eine lineare Beziehung findet sich auch in der Gleichung Entfernung = Geschwindigkeit x Zeit. Da die Entfernung eine positive Zahl ist (in den meisten Fällen), würde diese lineare Beziehung im oberen rechten Quadranten eines Diagramms mit X- und Y-Achsen dargestellt werden.

Wenn ein Tandemfahrrad mit einer Geschwindigkeit von 30 Meilen pro Stunde für 20 Stunden unterwegs wäre, würde der Fahrer 600 Meilen zurücklegen. Grafisch dargestellt mit der Entfernung auf der Y-Achse und der Zeit auf der X-Achse würde eine Linie, die die Entfernung über diese 20 Stunden verfolgt, geradeaus vom Schnittpunkt der X- und Y-Achsen verlaufen.

Umrechnung von Temperaturen

Um Celsius in Fahrenheit oder Fahrenheit in Celsius umzurechnen, verwenden Sie die folgenden Gleichungen. Diese Gleichungen drücken eine lineare Beziehung in einem Diagramm aus:

°C=59(°F−32)\degree C = \frac{5}{9}(\degree F - 32)°C=95​(°F−32)

°F=95°C+32\degree F = \frac{9}{5}\degree C + 32°F=59​°C+32

Immobilienpreise

Angenommen, die unabhängige Variable ist die Größe eines Hauses (gemessen in Quadratfuß), die den Marktpreis eines Hauses (die abhängige Variable) bestimmt, wenn sie mit dem Steigungskoeffizienten von 207,65 multipliziert und dann zum konstanten Term $10.500 addiert wird.

Wenn die Quadratmeterzahl eines Hauses 1.250 beträgt, dann beträgt der Marktwert des Hauses (1.250 x 207,65) + $10.500 = $270.062,50. Grafisch und mathematisch sieht dies wie folgt aus:

In diesem Beispiel steigt der Marktwert des Hauses linear mit der Größe des Hauses.

Proportionale Beziehungen

Einige lineare Beziehungen zwischen zwei Objekten können als „proportionale Beziehung“ bezeichnet werden. Diese Beziehung erscheint als:

Y=k×Xwobei:k=KonstanteY,X=proportionale Größen\begin{aligned} &Y = k \times X \\ &\textbf{wobei:}\\ &k=\text{Konstante}\\ &Y, X=\text{proportionale Größen}\\ \end{aligned}​

Bei der Analyse von Verhaltensdaten gibt es selten eine perfekte lineare Beziehung zwischen Variablen. Allerdings können in Daten Trendlinien gefunden werden, die eine grobe Version einer linearen Beziehung darstellen. Beispielsweise könnten Sie die täglichen Eisverkäufe und die tägliche Höchsttemperatur als die beiden beteiligten Variablen in einem Diagramm betrachten und eine grobe lineare Beziehung zwischen den beiden finden.

Was ist eine positive lineare Beziehung?

Eine positive lineare Beziehung wird durch eine aufsteigende Linie in einem Diagramm dargestellt. Das bedeutet, dass wenn eine Variable zunimmt, auch die andere Variable zunimmt. Umgekehrt würde eine negative lineare Beziehung eine absteigende Linie in einem Diagramm zeigen. Wenn eine Variable zunimmt, dann nimmt die andere Variable proportional ab.

Was ist eine nichtlineare Beziehung?

Eine nichtlineare Beziehung kann in Streudiagrammen auf einem Graphen betrachtet werden. Streudiagramme folgen einem bestimmten Muster, aber dieses Muster ist nicht linear, was bedeutet, dass die Darstellung keine gerade Linie ist.

Was ist ein Beispiel für eine lineare Beziehung in der Statistik?

Ein Beispiel für eine lineare Beziehung wäre ein stundenweise bezahlter Arbeiter. Je mehr Stunden sie arbeiten, desto mehr Geld erhalten sie. Diese Beziehung wäre linear, da jede gearbeitete Stunde dem gleichen Lohnanstieg entsprechen würde.