Lorenzkurve

Lorenz Curve: Definition und Anwendungen

Wichtige Erkenntnisse

Eine Lorenz-Kurve ist eine grafische Darstellung der Verteilung von Einkommen oder Vermögen innerhalb einer Bevölkerung.
Lorenz-Kurven stellen die Perzentile der Bevölkerung dem kumulierten Einkommen oder Vermögen der Personen auf oder unter diesem Perzentil gegenüber.
Lorenz-Kurven werden zusammen mit ihren abgeleiteten Statistiken häufig verwendet, um Ungleichheit innerhalb einer Bevölkerung zu messen.
Die Lorenz-Kurve ist ein zentraler Bestandteil bei der Berechnung des Gini-Koeffizienten, einer mathematischen Darstellung von Ungleichheitsniveaus.
Da Lorenz-Kurven mathematische Schätzungen sind, die auf der Anpassung einer kontinuierlichen Kurve an unvollständige und diskontinuierliche Daten basieren, können sie unvollkommene Maße der wahren Ungleichheit sein.

Was ist eine Lorenz-Kurve?

Eine Lorenz-Kurve, entwickelt 1905 vom amerikanischen Ökonomen Max Lorenz, ist eine grafische Darstellung der Einkommensungleichheit oder Vermögensungleichheit. Die Grafik trägt Perzentile der Bevölkerung auf der horizontalen Achse nach Einkommen oder Vermögen auf und kumuliertes Einkommen oder Vermögen auf der vertikalen Achse.

Die Lorenz-Kurve verstehen

In der Praxis ist eine Lorenz-Kurve normalerweise eine mathematische Funktion, die aus einem unvollständigen Satz von Beobachtungen von Einkommen oder Vermögen geschätzt wird. Die Lorenz-Kurve wird oft von einer geraden diagonalen Linie mit einer Steigung von 1 begleitet, die perfekte Gleichheit in der Einkommens- oder Vermögensverteilung darstellt; die Lorenz-Kurve liegt darunter und zeigt die beobachtete oder geschätzte Verteilung.

Während die Lorenz-Kurve am häufigsten zur Darstellung wirtschaftlicher Ungleichheit verwendet wird, kann sie auch eine ungleiche Verteilung in jedem System zeigen. Je weiter die Kurve von der Basislinie, dargestellt durch die gerade diagonale Linie, entfernt ist, desto höher ist das Niveau der Ungleichheit.1 In der Wirtschaftswissenschaft bezeichnet die Lorenz-Kurve die Ungleichheit in der Verteilung von entweder Vermögen oder Einkommen. Diese sind nicht gleichbedeutend, da es möglich ist, entweder hohe Einkommen, aber kein oder negatives Nettovermögen, oder niedrige Einkommen, aber ein hohes Nettovermögen zu haben.

Eine Lorenz-Kurve beginnt normalerweise mit einer empirischen Messung der Vermögens- oder Einkommensverteilung in einer Bevölkerung basierend auf Daten wie Steuererklärungen, die Einkommen für einen großen Teil der Bevölkerung melden. Eine Grafik der Daten kann direkt als Lorenz-Kurve verwendet werden, oder Ökonomen und Statistiker passen eine Kurve an, die eine kontinuierliche Funktion darstellt, um etwaige Lücken in den beobachteten Daten zu füllen.

Wichtig

Je näher die Lorenz-Kurve an der Gleichheitslinie liegt, desto geringer ist die Ungleichheit. Je weiter die Lorenz-Kurve von der Gleichheitslinie entfernt ist, desto größer ist die Ungleichheit.

Komponenten der Lorenz-Kurve

Es gibt mehrere wichtige Komponenten, die bei der Analyse einer Lorenz-Kurve zu verstehen sind:

Die x-Achse wird oft als Perzentil bezeichnet. In der obigen Grafik ist die x-Achse das Perzentil des Nettovermögens-Rankings im Vergleich zu anderen US-Haushalten.

Die y-Achse wird oft als kumulativer Prozentsatz der Vorkommnisse bezeichnet. In der obigen Grafik stellen die Prozentsätze den kumulierten Betrag des Nettovermögens der Haushalte dar.

Die Gleichheitslinie wird durch eine 45-Grad, ansteigende Linie dargestellt. In der obigen Grafik ist sie als gestrichelte Linie gekennzeichnet.

Die Lorenz-Kurve wird oft durch eine ansteigende, aber oft exponentiell steigende Kurve dargestellt. In der obigen Grafik ist sie als durchgezogene Linie gekennzeichnet.

Der Gini-Koeffizient (unten besprochen) ist die Lücke zwischen der Gleichheitslinie und der Lorenz-Kurve.

Die Lorenz-Kurve und der Gini-Koeffizient

Der Gini-Koeffizient wird verwendet, um das Ausmaß der Ungleichheit in einer einzigen Zahl auszudrücken. Er reicht meistens von 0 (oder 0%) bis 1 (oder 100%). Vollständige Gleichheit, bei der jede Person genau das gleiche Einkommen oder Vermögen hat, entspricht einem Koeffizienten von 0. Als Lorenz-Kurve aufgetragen, wäre vollständige Gleichheit eine gerade diagonale Linie mit einer Steigung von 1 (die Fläche zwischen dieser Kurve und sich selbst ist 0, also ist der Gini-Koeffizient 0).

Ein Koeffizient von 1 bedeutet, dass eine Person das gesamte Einkommen erzielt oder das gesamte Vermögen besitzt.2 In der Theorie kann der Gini-Koeffizient in extremen Situationen 100% überschreiten. Zum Beispiel kann die Zahl bei negativem Vermögen oder negativem Einkommen theoretisch höher als 1 sein; in diesem Fall würde die Lorenz-Kurve unter die horizontale Achse fallen.

Der Gini-Koeffizient ist gleich der Fläche unter der Linie der perfekten Gleichheit minus der Fläche unter der Lorenz-Kurve, geteilt durch die Fläche unter der Linie der perfekten Gleichheit. In der obigen Grafik ist der Gini-Koeffizient die Fläche unter der gestrichelten Linie, aber über der durchgezogenen Linie. Der Gini-Koeffizient wird verwendet, um das Ausmaß der Ungleichheit zu messen. Er kann auch verwendet werden, um zwei verschiedene Nationen oder Länder zu vergleichen, um zu sehen, welche mehr Ungleichheit aufweist.

Kurzer Fakt

Bei Datensätzen, die Ungleichheit zeigen, kann es schwierig sein, bestimmte Datenabschnitte richtig zu analysieren. Zum Beispiel hat die obige Grafik einen sehr langen linksschiefen Schwanz. Dies macht es schwierig, Änderungen der Gleichheit für diesen Datenabschnitt zu untersuchen.

Vorteile und Nachteile der Lorenz-Kurve

Vorteile der Lorenz-Kurve

Eine Lorenz-Kurve liefert detailliertere Informationen über die genaue Verteilung von Vermögen oder Einkommen in einer Bevölkerung als zusammenfassende Statistiken wie der Gini-Koeffizient oder der Lorenz-Asymmetriekoeffizient. Da eine Lorenz-Kurve die Verteilung über jedes Perzentil (oder andere Einheitenunterteilungen) visuell darstellt, kann sie genau zeigen, bei welchen Einkommens- (oder Vermögens-) Perzentilen die beobachtete Verteilung von der Gleichheitslinie abweicht und um wie viel.

Die zugrunde liegenden Daten für eine Lorenz-Kurve sind notwendig, um den Gini-Koeffizienten zu berechnen, ein primäres Mittel zur mathematischen Messung von Ungleichheit. Vorausgesetzt, es können ausreichend Daten gesammelt werden, kann eine Lorenz-Kurve für jede geografische Region (d.h. nach Land, Bundesstaat, Stadt usw.) erstellt werden. Dies kann besonders wichtig für Regierungen sein, die sich auf eine Lorenz-Kurve verlassen, um besser zu verstehen, wie Steuerklassen am angemessensten bewertet werden können.

Obwohl die Lorenz-Kurve oft sensible Finanzinformationen zeigt, wahrt sie auch die Anonymität der zugrunde liegenden befragten Personen. Darüber hinaus kann die Lorenz-Kurve im Laufe der Zeit übereinandergelegt werden, um zu zeigen, wie die öffentliche Politik das Niveau der Ungleichheit an verschiedenen Punkten entlang der Lorenz-Kurve verändert hat.

Nachteile der Lorenz-Kurve

Da die Konstruktion einer Lorenz-Kurve das Anpassen einer kontinuierlichen Funktion an einen unvollständigen Datensatz beinhaltet, gibt es keine Garantie, dass die Werte entlang einer Lorenz-Kurve (außer den tatsächlich in den Daten beobachteten) tatsächlich den wahren Einkommensverteilungen entsprechen. Dies gilt auch, weil es zu teuer sein oder zu viele Ressourcen erfordern kann, genügend Datenpunkte zu sammeln, um alle Lücken zu füllen.

Die meisten Punkte entlang der Kurve sind nur Schätzungen basierend auf der Form der Kurve, die am besten zu den beobachteten Datenpunkten passt. Daher kann die Form der Lorenz-Kurve empfindlich auf die Qualität und Stichprobengröße der Daten sowie auf die mathematischen Annahmen und Beurteilungen darüber, was eine am besten passende Kurve ausmacht, reagieren, und diese können Quellen erheblicher Fehler zwischen der Lorenz-Kurve und der tatsächlichen Verteilung darstellen.

Die Lorenz-Kurve (oder der Gini-Koeffizient) kann auch unzureichend sein, um das Ausmaß der Veränderung der Ungleichheit im Laufe der Zeit klar darzustellen. Betrachten Sie eine Situation, in der zwei Gini-Koeffizienten als genau gleich berechnet werden. Es ist möglich, dass die Steigung der Lorenz-Kurve radikal unterschiedlich ist, dennoch wird das zugrunde liegende aggregierte Ungleichheitsniveau als gleich berechnet.

Stellt Ungleichheit in einer Bevölkerung auf eine Weise visuell dar, die leicht zu verstehen und zu analysieren ist

Wird verwendet, um den Gini-Koeffizienten zu berechnen, ein primäres mathematisches Mittel zur Berechnung von Ungleichheit

Kann Regierungen dabei unterstützen, öffentliche Politikänderungen vorzunehmen oder Steuerklassenbereiche basierend auf dem Einkommen zu beeinflussen

Wahrt die Anonymität der befragten Personen

Kann zusammengestellt werden, um zu zeigen, wie sich die Kurve im Laufe der Zeit verändert hat

Stichprobendaten spiegeln möglicherweise nicht die Gesamtbevölkerung angemessen wider, daher wird eine falsche Lorenz-Kurve angezeigt

Kann umfangreiche Datenerhebung erfordern, um die gesamte Kurve angemessen zu füllen

Kann Schätzung oder Rückschlüsse des Erstellers erfordern, welche Kurve zu zeichnen ist

Kann Analysten aufgrund der unterschiedlichen Formen und Größen des Gini-Koeffizienten-Bereichs in die Irre führen; verschiedene Bereiche können gleich groß sein, sich aber im Erscheinungsbild unterscheiden

Beispiel einer Lorenz-Kurve

Die obige Kurve zeigt eine kontinuierliche Lorenz-Kurve, die an Daten angepasst wurde, die die Einkommensverteilung in Brasilien ab 2017 beschreiben, laut Weltbank.3 Der Datensatz wird auch mit einer geraden diagonalen Linie verglichen, die perfekte Gleichheit darstellt.

Beim 50. Einkommensperzentil beträgt der Wert der Lorenz-Kurve 17%%. Dies bedeutet, dass die Lorenz-Kurve schätzt, dass die unteren 50% der Bevölkerung 17% des gesamten monatlichen Einkommens des Landes erhalten. Wäre Brasilien eine perfekt gleiche Gesellschaft, würden die unteren 50% 50% des Gesamten verdienen.

An anderer Stelle sehen wir, dass das 99. Perzentil 89% des kumulierten Einkommens entspricht. Dies bedeutet, dass nach den Zahlen der Bank die oberen 1% etwas mehr als ein Zehntel des brasilianischen Einkommens erhalten.

Um den Gini-Koeffizienten zu ermitteln, subtrahieren Sie die Fläche unterhalb der Lorenz-Kurve von der Fläche unterhalb der Linie der perfekten Gleichheit (definitionsgemäß 0,5). Teilen Sie das Ergebnis durch die Fläche unterhalb der Linie der perfekten Gleichheit, was einen Gini-Koeffizienten von 50,8% ergibt. Dies ist etwas niedriger als die Schätzung von 51,6% im Jahr 2023, was auf eine leichte Abnahme der wirtschaftlichen Ungleichheit hindeutet.4

Warum ist die Lorenz-Kurve wichtig?

Die Lorenz-Kurve ist wichtig, weil sie eine der besten und einfachsten Möglichkeiten darstellt, das Niveau der wirtschaftlichen Ungleichheit in der Gesellschaft zu veranschaulichen. Wenn sich die Lorenz-Kurve von der Basislinie entfernt, deuten die zugrunde liegenden Daten darauf hin, dass die ungleiche Verteilung weiter zunimmt.

Wie misst die Lorenz-Kurve Ungleichheit?

Die Lorenz-Kurve ist eine grafische Darstellung der Verteilung von Einkommen oder Vermögen in einer Gesellschaft. Im Grunde gilt: Je weiter sich die Kurve von der Basislinie, dargestellt durch die gerade diagonale Linie, entfernt, desto höher ist das Niveau der Ungleichheit.

Wer verwendet Lorenz-Kurven?

Regierungsbehörden sind besonders an Lorenz-Kurven interessiert, insbesondere für Nettovermögens- und Einkommensverteilungen in ihrem Land. Lorenz-Kurven informieren Regierungen darüber, wie die öffentliche Politik funktioniert (oder nicht funktioniert). Sie können auch ein Indikator dafür sein, wie eine Regierung ihre Steuerklassen basierend auf Lücken oder Einkommensbereichen festlegen sollte.

Wie wird eine Lorenz-Kurve berechnet?

Nachdem Daten aus einer relativ großen Stichprobe gesammelt wurden, wird eine Lorenz-Kurve angepasst, um die Verteilung dieses Datensatzes am besten darzustellen. Da jeder Informationssatz unterschiedlich ist, gibt es keine einzige universelle Kurvenformel, und die nichtlineare Regression wird für verschiedene Datensätze oft sehr unterschiedlich aussehen.