Montecarlosimulation

Wichtige Erkenntnisse

• Monte-Carlo-Simulationen prognostizieren eine Reihe möglicher Ergebnisse, indem sie Zufälligkeiten in einem System modellieren.
• Sie testen mehrere Werte für unsichere Variablen, um einen Durchschnitt vieler potenzieller Ergebnisse zu erzeugen.
• Diese Simulationen stützen sich auf historische Daten und statistische Annahmen über das Marktverhalten.
• Monte-Carlo-Methoden werden zunehmend mit künstlicher Intelligenz kombiniert, um die Prognosegenauigkeit zu verbessern.
• Eliana Rodgers / Investopedia

Was ist eine Monte-Carlo-Simulation?

Eine Monte-Carlo-Simulation ist eine Methode, um die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ergebnisse in einem Prozess zu modellieren, der aufgrund des Eingreifens von Zufallsvariablen nicht einfach vorhergesagt werden kann. Es ist eine Technik, die verwendet wird, um die Auswirkungen von Risiko und Unsicherheit zu verstehen. Monte-Carlo-Simulationen können auf eine Reihe von Problemen in vielen Bereichen angewendet werden, darunter Investitionen, Wirtschaft, Physik und Ingenieurwesen. Sie wird auch als Mehrfachwahrscheinlichkeitssimulation bezeichnet.

Wie die Monte-Carlo-Simulation Risiken bewertet

Bei erheblicher Unsicherheit bei einer Prognose oder Schätzung ersetzen einige Methoden die unsichere Variable durch einen einzigen Durchschnittswert. Die Monte-Carlo-Simulation verwendet stattdessen mehrere Werte und mittelt dann die Ergebnisse.

Monte-Carlo-Simulationen haben ein breites Anwendungsspektrum in Bereichen, die von Zufallsvariablen geplagt werden, insbesondere in der Wirtschaft und bei Investitionen. Sie werden verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Kostenüberschreitungen bei großen Projekten und die Wahrscheinlichkeit abzuschätzen, dass sich ein Vermögenspreis in eine bestimmte Richtung bewegt.

Telekommunikationsunternehmen nutzen sie, um die Netzwerkleistung in verschiedenen Szenarien zu bewerten, was ihnen hilft, ihre Netzwerke zu optimieren. Versicherungen nutzen sie, um die Risiken zu messen, die sie möglicherweise eingehen, und ihre Policen entsprechend zu bepreisen. Investmentanalysten verwenden Monte-Carlo-Simulationen, um das Risiko zu bewerten, dass ein Unternehmen ausfällt, und um Derivate wie Optionen zu analysieren. Finanzplaner können sie nutzen, um die Wahrscheinlichkeit vorherzusagen, dass einem Kunden im Ruhestand das Geld ausgeht.¹

Monte-Carlo-Simulationen haben auch viele Anwendungen außerhalb von Wirtschaft und Finanzen, zum Beispiel in der Meteorologie, Astronomie und Physik.

Heute werden Monte-Carlo-Simulationen zunehmend in Verbindung mit neuen Modellen der künstlichen Intelligenz (KI) eingesetzt. Wie IBM im Jahr 2024 anmerkte, nutzen viele Finanzunternehmen heute Hochleistungsrechensysteme, um Monte-Carlo-Simulationen durchzuführen, und: "Mit der wachsenden Anzahl dieser Simulationen über immer größere Portfolios von Finanzanlagen und -instrumenten wird die Interpretation dieser als Ganzes zu einer wachsenden Herausforderung." Hier kommt KI ins Spiel. "Der Einsatz von KI, um einen Fachmann bei der Bewertung dieser Simulationen zu unterstützen, kann sowohl die Genauigkeit verbessern als auch zeitnähere Erkenntnisse liefern. In einem Geschäft, in dem die Zeit bis zur Markteinführung ein entscheidender Differenzierungsfaktor ist, hat dies einen direkten geschäftlichen Wert", so IBM.²

Geschichte der Monte-Carlo-Simulation

Die Monte-Carlo-Simulation wurde nach dem berühmten Glücksspielort in Monaco benannt, weil Zufall und zufällige Ergebnisse für diese Modellierungstechnik von zentraler Bedeutung sind, genau wie bei Spielen wie Roulette, Würfel und Spielautomaten.

Die Technik wurde ursprünglich von Stanislaw Ulam entwickelt, einem Mathematiker, der am Manhattan-Projekt arbeitete, dem geheimen Vorhaben zur Entwicklung der ersten Atombombe. Er teilte seine Idee mit John Von Neumann, einem Kollegen am Manhattan-Projekt, und die beiden arbeiteten zusammen, um die Monte-Carlo-Simulation zu verfeinern.³

Wie Monte-Carlo-Simulationen funktionieren

Die Monte-Carlo-Methode erkennt ein Problem für jede Simulationstechnik an: Die Wahrscheinlichkeit unterschiedlicher Ergebnisse kann aufgrund des Einflusses von Zufallsvariablen nicht genau bestimmt werden. Daher konzentriert sich eine Monte-Carlo-Simulation auf das ständige Wiederholen von Zufallsstichproben.

Eine Monte-Carlo-Simulation nimmt die Variable, die Unsicherheit aufweist, und weist ihr einen Zufallswert zu. Das Modell wird dann ausgeführt und ein Ergebnis geliefert. Dieser Prozess wird immer wieder wiederholt, wobei der betreffenden Variable viele verschiedene Werte zugewiesen werden. Sobald die Simulation abgeschlossen ist, werden die Ergebnisse gemittelt, um zu einer Schätzung zu gelangen.

Die 4 Schritte einer Monte-Carlo-Simulation

Um eine Monte-Carlo-Simulation durchzuführen, gibt es vier Hauptschritte. Als Beispiel kann Microsoft Excel oder ein ähnliches Programm verwendet werden, um eine Monte-Carlo-Simulation zu erstellen, die die wahrscheinlichen Kursbewegungen von Aktien oder anderen Vermögenswerten schätzt.

Es gibt zwei Komponenten der Kursbewegung eines Vermögenswerts: den Drift, der seine konstante Richtungsbewegung darstellt, und einen Zufallseingang, der die Marktvolatilität repräsentiert.

Durch die Analyse historischer Preisdaten können Sie den Drift, die Standardabweichung, die Varianz und die durchschnittliche Preisbewegung eines Wertpapiers bestimmen. Dies sind die Bausteine einer Monte-Carlo-Simulation.

Die vier Schritte sind wie folgt:

Schritt 1. Um eine mögliche Preisentwicklung zu projizieren, verwenden Sie die historischen Preisdaten des Vermögenswerts, um eine Reihe periodischer täglicher Renditen unter Verwendung des natürlichen Logarithmus zu generieren (beachten Sie, dass diese Gleichung von der üblichen prozentualen Änderungsformel abweicht):

Schritt 2. Verwenden Sie als Nächstes die Funktionen AVERAGE, STDEV.P und VAR.P für die gesamte resultierende Reihe, um die Eingaben für die durchschnittliche tägliche Rendite, die Standardabweichung bzw. die Varianz zu erhalten. Der Drift ist gleich:

Alternativ kann der Drift auf 0 gesetzt werden; diese Wahl spiegelt eine bestimmte theoretische Ausrichtung wider, aber der Unterschied wird nicht groß sein, zumindest für kürzere Zeiträume.

Schritt 3. Als Nächstes erhalten Sie eine Zufallseingabe:

Die Gleichung für den Preis des nächsten Tages lautet:

Schritt 4. Um e in Excel mit einer bestimmten Potenz x zu versehen, verwenden Sie die EXP-Funktion: EXP(x). Wiederholen Sie diese Berechnung so oft wie gewünscht. (Jede Wiederholung entspricht einem Tag.) Das Ergebnis ist eine Simulation der zukünftigen Preisbewegung des Vermögenswerts.

Durch die Erzeugung einer beliebigen Anzahl von Simulationen können Sie die Wahrscheinlichkeit bewerten, dass der Kurs eines Wertpapiers einer bestimmten Entwicklung folgt.

Ergebnisse der Monte-Carlo-Simulation erklärt

In vielen Modellen folgen die Ergebnisse einer Normalverteilung oder Glockenkurve, wobei die wahrscheinlichste Rendite in der Mitte liegt. Dies bedeutet, dass das tatsächliche Ergebnis genauso wahrscheinlich über diesem Punkt wie darunter liegt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die tatsächliche Rendite innerhalb einer Standardabweichung der wahrscheinlichsten ("erwarteten") Rate liegt, beträgt 68 %. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 95 %, dass sie innerhalb von zwei Standardabweichungen liegt, und 99,7 %, dass sie innerhalb von drei Standardabweichungen liegt.

Trotzdem gibt es keine Garantie, dass das am meisten erwartete Ergebnis eintritt oder dass die tatsächlichen Bewegungen nicht über die kühnsten Prognosen hinausgehen.

Entscheidend ist, dass eine Monte-Carlo-Simulation alles ignoriert, was nicht in die Preisbewegung eingebaut ist, wie z. B. Makrotrends, die Führung eines Unternehmens, Markthype und zyklische Faktoren.

Mit anderen Worten, sie geht von einem vollkommen effizienten Markt aus, in dem Preisbewegungen statistisch konsistenten Mustern folgen, die aus historischen Daten abgeleitet wurden, obwohl sich reale Märkte unvorhersehbar verhalten können.

Vor- und Nachteile einer Monte-Carlo-Simulation

Die Monte-Carlo-Simulation wurde entwickelt, um einen vermeintlichen Nachteil anderer Methoden zur Schätzung eines wahrscheinlichen Ergebnisses zu überwinden.

Der Unterschied besteht darin, dass die Monte-Carlo-Methode eine Reihe von Zufallsvariablen testet und dann mittelt, anstatt mit einem Durchschnitt zu beginnen.

Wie jede Finanzsimulation stützt sich die Monte-Carlo-Methode auf historische Preisdaten als Grundlage für eine Prognose zukünftiger Preisdaten. Anschließend stört sie das Muster durch die Einführung von Zufallsvariablen, die durch Zahlen dargestellt werden. Schließlich mittelt sie diese Zahlen, um eine Schätzung des Risikos zu erhalten, dass das Muster im wirklichen Leben gestört wird.

Natürlich kann keine Simulation ein unvermeidliches Ergebnis genau bestimmen. Die Monte-Carlo-Methode zielt auf eine fundiertere Schätzung der Wahrscheinlichkeit ab, dass ein Ergebnis von einer Prognose abweicht.

Wie wird die Monte-Carlo-Simulation im Finanzwesen eingesetzt?

Eine Monte-Carlo-Simulation wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses abzuschätzen. Als solche wird sie häufig von Anlegern und Finanzanalysten eingesetzt, um den wahrscheinlichen Erfolg von Investitionen zu bewerten, die sie in Betracht ziehen. Einige häufige Anwendungen sind:

Preisgestaltung von Aktienoptionen: Die potenziellen Preisbewegungen des Basiswerts werden unter Berücksichtigung aller möglichen Variablen verfolgt. Die Ergebnisse werden gemittelt und dann auf den aktuellen Preis des Vermögenswerts abgezinst. Dies soll die wahrscheinliche Auszahlung der Optionen anzeigen.

Portfolio-Bewertung: Eine Reihe alternativer Portfolios kann mit der Monte-Carlo-Simulation getestet werden, um ein Maß für ihr relatives Risiko zu erhalten.

Festverzinsliche Anlagen: Der kurzfristige Zinssatz ist hier die Zufallsvariable. Die Simulation wird verwendet, um die wahrscheinlichen Auswirkungen von Bewegungen des kurzfristigen Zinssatzes auf festverzinsliche Anlagen wie Anleihen zu berechnen.

Welche Berufe verwenden die Monte-Carlo-Simulation?

Sie ist vielleicht am bekanntesten für ihre finanziellen Anwendungen, aber die Monte-Carlo-Simulation wird in fast jedem Beruf eingesetzt, der Risiken messen und sich darauf vorbereiten muss, ihnen zu begegnen.

Ein Telekommunikationsunternehmen kann beispielsweise sein Netzwerk aufbauen, um alle seine Nutzer jederzeit zu versorgen. Dazu muss es alle möglichen Schwankungen in der Nachfrage nach dem Dienst berücksichtigen. Es muss feststellen, ob das System der Belastung durch Spitzenzeiten und Hauptsaisonen standhält.

Eine Monte-Carlo-Simulation kann dem Unternehmen helfen zu entscheiden, ob sein Dienst wahrscheinlich der Belastung eines Super-Bowl-Sonntags ebenso standhält wie eines durchschnittlichen Sonntags im August.

Welche Faktoren werden in einer Monte-Carlo-Simulation bewertet?

Eine Monte-Carlo-Simulation im Investmentbereich basiert auf historischen Preisdaten des zu bewertenden Vermögenswerts oder der zu bewertenden Vermögenswerte.

Die Bausteine der Simulation, die aus den historischen Daten abgeleitet werden, sind Drift, Standardabweichung, Varianz und durchschnittliche Preisbewegung.