Normalverteilung

Was ist eine Normalverteilung?

Die Normalverteilung, oft auch als Gauß-Verteilung bezeichnet, ist aufgrund ihrer Symmetrie um den Mittelwert, die die charakteristische „Glockenkurve“ bildet, grundlegend für die Statistik und Finanzwelt. Diese Verteilung ist entscheidend für verschiedene Finanzanalysen und Entscheidungen, bei denen die meisten Datenpunkte tendenziell um einen Durchschnittswert gruppiert sind. Die Normalverteilung ist nicht nur die Grundlage vieler statistischer Theorien wie des zentralen Grenzwertsatzes, sondern auch ein Schlüssel zur Bewertung des Verhaltens von Finanzmärkten, da sie Investoren und Analysten hilft festzustellen, ob Finanzinstrumente fair bewertet sind oder von den erwarteten Normen abweichen. Dieser Artikel untersucht die Eigenschaften, Anwendungen und Grenzen von Normalverteilungen, um fundierte finanzielle Entscheidungen zu unterstützen.

Wichtige Erkenntnisse

• Die Normalverteilung, auch als Gauß-Verteilung bekannt, ist eine glockenförmige Kurve, die symmetrisch um den Mittelwert verläuft, was bedeutet, dass die meisten Datenpunkte nahe dem Mittelwert gruppiert sind.
• Sie wird durch zwei Parameter charakterisiert: Mittelwert (Durchschnitt) und Standardabweichung, mit entscheidenden Eigenschaften wie Schiefe und Kurtosis, die helfen, die Symmetrie und die Enden der Verteilung zu beschreiben.
• Die empirische Regel besagt, dass für eine Normalverteilung etwa 68,2% der Daten innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert liegen, 95,4% innerhalb von zwei und 99,7% innerhalb von drei, wobei seltene Ereignisse als solche gelten, die jenseits von drei Standardabweichungen liegen.
• Trotz ihrer weit verbreiteten Verwendung im Finanzwesen können Annahmen der Normalverteilung bei Vermögenspreisen irreführend sein, die häufig dicke Enden und schiefe Verteilungen aufweisen, was die Prognosegenauigkeit in Frage stellt.
• Die Normalverteilung untermauert viele statistische Theorien, einschließlich des zentralen Grenzwertsatzes, obwohl das Vertrauen auf sie im Finanzwesen durch das Bewusstsein für ihre Grenzen angesichts der komplexen Natur des Marktverhaltens gemildert werden muss.
• Erhalten Sie personalisierte, KI-gestützte Antworten, die auf über 27 Jahren vertrauenswürdiger Erfahrung basieren.
• Investopedia / Lara Antal

Wichtige Eigenschaften der Normalverteilung erklärt

In der technischen Aktienmarktanalyse wird üblicherweise die Normalverteilung angenommen. Sie hat zwei Parameter: Mittelwert und Standardabweichung. Hier sind Mittelwert (Durchschnitt), Median (Mittelpunkt) und Modus (häufigste Beobachtung) gleich, was eine symmetrische Glockenkurve ergibt, die um den Mittelwert zentriert ist.

Das Normalverteilungsmodell ist zentral für den zentralen Grenzwertsatz (CLT), der besagt, dass die Durchschnitte unabhängiger, identisch verteilter Variablen in der Regel einer Normalverteilung folgen, unabhängig von der ursprünglichen Verteilung.

Die Normalverteilung ist eine Art symmetrischer Verteilung. Symmetrische Verteilungen treten auf, wenn eine Trennlinie zwei Spiegelbilder erzeugt. Nicht alle symmetrischen Verteilungen sind normal, da einige Daten als zwei Höcker oder eine Reihe von Hügeln zusätzlich zur Glockenkurve erscheinen können, die auf eine Normalverteilung hinweist.

Die empirische Regel in der Normalverteilung verstehen

Bei Normalverteilungen fallen 68,2% der Daten innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert, 95,4% innerhalb von zwei und 99,7% innerhalb von drei.

Diese Tatsache wird manchmal als „empirische Regel“ bezeichnet, eine Heuristik, die beschreibt, wo die meisten Daten in einer Normalverteilung auftreten. Daten, die außerhalb von drei Standardabweichungen („3-Sigma“) liegen, würden seltene Ereignisse darstellen.

Investopedia / Sabrina Jiang

Analyse der Schiefe in der Normalverteilung

Die Schiefe misst den Grad der Symmetrie einer Verteilung. Die Normalverteilung ist symmetrisch und hat eine Schiefe von Null. Wenn die Verteilung eines Datensatzes stattdessen eine Schiefe kleiner als Null oder eine negative Schiefe (linksschief) aufweist, dann ist der linke Rand der Verteilung länger als der rechte; positive Schiefe (rechtsschief) bedeutet, dass der rechte Rand der Verteilung länger ist als der linke.

Untersuchung der Kurtosis in der Normalverteilung

Die Kurtosis misst die Dicke der Enden einer Verteilung im Vergleich zu den Enden einer Verteilung. Die Normalverteilung hat eine Kurtosis von 3,0. Verteilungen mit einer größeren Kurtosis von über 3,0 weisen Enddaten auf, die die Enden der Normalverteilung übersteigen (z. B. fünf oder mehr Standardabweichungen vom Mittelwert).

Diese überschüssige Kurtosis wird in der Statistik als leptokurtisch bezeichnet, im allgemeinen Sprachgebrauch ist sie jedoch als „dicke Enden“ (Fat Tails) bekannt. Das Auftreten von dicken Enden an den Finanzmärkten beschreibt das sogenannte Tail-Risiko. Verteilungen mit einer niedrigen Kurtosis von weniger als 3,0 (platykurtisch) weisen Enden auf, die im Allgemeinen weniger extrem („dünner“) sind als die Enden der Normalverteilung.

Die Formel für die Normalverteilung

Die Normalverteilung folgt der folgenden Formel. Beachten Sie, dass nur die Werte des Mittelwerts (μ) und der Standardabweichung (σ) erforderlich sind

wobei:

x = Wert der untersuchten Variablen oder Daten und f(x) die Wahrscheinlichkeitsfunktion

μ = der Mittelwert

σ = die Standardabweichung

Finanzielle Anwendungen der Normalverteilung

Die Annahme einer Normalverteilung wird auf Vermögenspreise und Preisbewegungen angewendet. Händler können Preispunkte plotten, um aktuelle Preisbewegungen in eine Normalverteilung einzupassen. Je weiter sich die Preisbewegung in diesem Fall vom Mittelwert entfernt, desto wahrscheinlicher ist es, dass ein Vermögenswert über- oder unterbewertet wird. Händler können die Standardabweichungen nutzen, um mögliche Trades vorzuschlagen. Diese Art des Handels wird in der Regel auf sehr kurzen Zeitrahmen durchgeführt, da längere Zeiträume die Auswahl von Ein- und Ausstiegspunkten erheblich erschweren.

Viele statistische Theorien modellieren Vermögenspreise unter der Annahme einer Normalverteilung. Allerdings zeigen tatsächliche Preisdaten oft dicke Enden mit häufigeren extremen Bewegungen, was zu einer Kurtosis über drei führt. Selbst wenn vergangene Daten einer Normalverteilung entsprechen, garantiert dies nicht, dass zukünftige Leistungen dies auch tun.

Reales Beispiel einer Normalverteilung

Viele natürlich vorkommende Phänomene scheinen normalverteilt zu sein. Zum Beispiel beträgt die durchschnittliche Körpergröße eines Menschen etwa 175 cm (5' 9"), unter Berücksichtigung von Männern und Frauen.

Wie die folgende Grafik zeigt, entsprechen die meisten Menschen diesem Durchschnitt. Größere und kleinere Menschen kommen in der Bevölkerung mit abnehmender Häufigkeit vor. Gemäß der empirischen Regel fallen 99,7% aller Menschen in den Bereich von +/- drei Standardabweichungen vom Mittelwert, also zwischen 154 cm (5' 0") und 196 cm (6' 5"). Personen, die größer oder kleiner sind, wären selten (jeweils nur 0,15% der Bevölkerung).

Was versteht man unter der Normalverteilung?

Die Normalverteilung beschreibt eine symmetrische Darstellung von Daten um ihren Mittelwert, wobei die Breite der Kurve durch die Standardabweichung definiert wird. Sie wird optisch als „Glockenkurve“ dargestellt.

Warum wird die Normalverteilung als „normal“ bezeichnet?

Technisch als Gauß-Verteilung bekannt, wurde sie nach Studien des 19. Jahrhunderts als „normal“ bezeichnet, die zeigten, dass viele natürliche Ereignisse „normal vom Mittelwert abweichen“. Sir Francis Galton verbreitete dies 1889 als „Normalverteilungskurve“.1

Was sind die Grenzen der Normalverteilung im Finanzwesen?

Obwohl die Normalverteilung ein statistisches Konzept ist, können ihre Anwendungen im Finanzwesen begrenzt sein, da finanzielle Phänomene – wie erwartete Aktienmarktrenditen – nicht sauber in eine Normalverteilung passen. Preise folgen eher einer Log-Normalverteilung, die rechtsschief ist und dickere Enden aufweist. Daher kann ein zu starkes Vertrauen auf eine Glockenkurve bei Prognosen zu unzuverlässigen Ergebnissen führen. Obwohl die meisten Analysten sich dieser Einschränkung bewusst sind, ist es relativ schwierig, diesen Mangel zu überwinden, da oft unklar ist, welche statistische Verteilung als Alternative verwendet werden soll.