Poisson-Verteilung

Was ist eine Poisson-Verteilung?

In der Statistik ist eine Poisson-Verteilung eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit angibt, dass ein Ereignis innerhalb eines bestimmten Zeitraums eine bestimmte Anzahl von Malen auftritt. Es handelt sich um eine Zählverteilung, deren Parameter Lambda (λ) ist; die durchschnittliche Anzahl von Ereignissen in einem bestimmten Intervall. In der Finanzwelt, insbesondere beim Investieren, werden Poisson-Verteilungen erstellt, um die Möglichkeit von Handelsereignissen zu erklären, Preisspannen zu erzeugen oder Marktsprünge vorherzusagen, unter anderem.

Da die Poisson-Verteilung eine diskrete Funktion ist, kann die Variable nur bestimmte Werte in einer (potenziell unendlichen) Liste annehmen. Anders ausgedrückt, die Variable kann nicht alle Werte in einem kontinuierlichen Bereich annehmen. Bei der Poisson-Verteilung kann die Variable nur ganzzahlige Werte annehmen (0, 1, 2, 3 usw.), ohne Brüche oder Dezimalstellen.

Poisson-Verteilungen werden häufig verwendet, um unabhängige Ereignisse zu verstehen, die in einem bestimmten Zeitintervall mit konstanter Rate auftreten. Sie wurde nach dem französischen Mathematiker Siméon Denis Poisson benannt.

Wichtige Erkenntnisse

• Eine Poisson-Verteilung, benannt nach dem französischen Mathematiker Siméon Denis Poisson, kann verwendet werden, um zu schätzen, wie oft ein Ereignis innerhalb von „X“ Zeiträumen wahrscheinlich auftritt.

• Poisson-Verteilungen werden verwendet, wenn die interessierende Variable eine diskrete Zählvariable ist.

• Viele wirtschaftliche und finanzielle Daten erscheinen als Zählvariablen, wie z. B. wie oft eine Person in einem bestimmten Jahr arbeitslos wird oder wie viele Trades in einer Sitzung getätigt werden, und eignen sich daher für eine Analyse mit einer Poisson-Verteilung.

• Erhalten Sie personalisierte, KI-gestützte Antworten, die auf über 27 Jahren vertrauenswürdiger Expertise basieren.

Verständnis von Poisson-Verteilungen

Eine Poisson-Verteilung kann verwendet werden, um zu schätzen, wie wahrscheinlich es ist, dass etwas „X“-mal passiert. Wenn zum Beispiel die durchschnittliche Anzahl von Personen, die an einem Freitagabend an einem einzelnen Standort einer Fast-Food-Kette Cheeseburger kaufen, 200 beträgt, kann eine Poisson-Verteilung Fragen beantworten wie: „Wie wahrscheinlich ist es, dass mehr als 300 Personen Burger kaufen werden?“

Die Anwendung der Poisson-Verteilung ermöglicht es Managern daher, optimale Planungssysteme einzuführen, die beispielsweise mit einer Normalverteilung nicht funktionieren würden.

Eine der berühmtesten historischen und praktischen Anwendungen der Poisson-Verteilung war die Schätzung der jährlichen Anzahl preußischer Kavalleriesoldaten, die durch Pferdetritte getötet wurden. Moderne Beispiele umfassen die Schätzung der Anzahl von Autounfällen in einer Stadt einer bestimmten Größe; in der Physiologie wird diese Verteilung oft verwendet, um die Wahrscheinlichkeitshäufigkeiten verschiedener Arten von Neurotransmitterausschüttungen zu berechnen.

Oder, wenn eine Videothek durchschnittlich 400 Kunden jeden Freitagabend hatte, wie groß wäre die Wahrscheinlichkeit gewesen, dass an einem beliebigen Freitagabend 600 Kunden kommen?

Formel für die Poisson-Verteilung

f(x)=λxx!e−λwobei:e=Eulersche Zahl (e=2.71828…)x=Anzahl der Ereignissex!=Fakultät von xλ=Gleich dem Erwartungswert (EW) von x, wenn dieser auch gleich der Varianz ist\begin{aligned}&f(x)=\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}\\&\textbf{wobei:}\\&e=\text{Eulersche Zahl } (e=2.71828\dots)\\&x=\text{Anzahl der Ereignisse}\\&x!=\text{Fakultät von }x\\&\lambda=\text{Gleich dem Erwartungswert (EW) von }x\text{, wenn dieser auch gleich der Varianz ist}\end{aligned}f(x)=x!λxe−λwobei:e=Eulersche Zahl (e=2.71828…)x=Anzahl der Ereignissex!=Fakultät von xλ=Gleich dem Erwartungswert (EW) von x, wenn dieser auch gleich der Varianz ist

Bei Daten, die einer Poisson-Verteilung folgen, erscheint diese grafisch wie folgt:

Nehmen Sie im obigen Beispiel an, dass ein betrieblicher Prozess eine Fehlerrate von 3% aufweist. Wenn wir weiterhin 100 zufällige Versuche annehmen, beschreibt die Poisson-Verteilung die Wahrscheinlichkeit, innerhalb eines bestimmten Zeitraums, wie z. B. eines einzigen Tages, eine bestimmte Anzahl von Fehlern zu erhalten.

Kurzer Fakt

Wenn der Mittelwert sehr groß ist, ist die Poisson-Verteilung annähernd eine Normalverteilung.

Die Poisson-Verteilung im Finanzwesen

Die Poisson-Verteilung wird auch häufig verwendet, um finanzielle Zähldaten zu modellieren, bei denen die Anzahl klein und oft null ist. Ein Beispiel im Finanzwesen ist die Modellierung der Anzahl von Trades, die ein typischer Investor an einem bestimmten Tag tätigt, die 0 (häufig), 1, 2 usw. sein kann.

Ein weiteres Beispiel: Dieses Modell kann verwendet werden, um die Anzahl der „Schocks“ für den Markt vorherzusagen, die innerhalb eines bestimmten Zeitraums, z. B. über ein Jahrzehnt, auftreten werden.

Einfach erklärt

Eine Poisson-Verteilung stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass ein einzelnes Ereignis innerhalb eines bestimmten Zeitraums eintritt. Die Ereignisse müssen unabhängig sein und mit konstanter Rate auftreten.

Wann sollte die Poisson-Verteilung verwendet werden?

Die Poisson-Verteilung wird am besten in der statistischen Analyse angewendet, wenn die fragliche Variable eine Zählvariable ist. Zum Beispiel, wenn man fragt, wie oft X auf der Grundlage einer oder mehrerer erklärender Variablen auftritt, wie etwa die Schätzung, wie viele fehlerhafte Produkte bei unterschiedlichen Eingaben von einem Fließband kommen.

Welche Annahmen trifft die Poisson-Verteilung?

Damit die Poisson-Verteilung genau ist, müssen alle Ereignisse voneinander unabhängig sein, die Rate der Ereignisse über die Zeit konstant sein und Ereignisse können nicht gleichzeitig auftreten. Außerdem sind Mittelwert und Varianz gleich.

Ist die Poisson-Verteilung diskret oder stetig?

Da sie diskrete Zählungen misst, ist die Poisson-Verteilung ebenfalls eine diskrete Verteilung. Dies steht im Gegensatz zur Normalverteilung, die stetig ist.