Quartil

Wichtige Erkenntnisse

• Quartile teilen einen Datensatz in vier gleiche Teile, die jeweils 25 % der Daten repräsentieren.
• Die drei Quartilwerte sind das erste Quartil (Q1), der Median (Q2) und das dritte Quartil (Q3).
• Der Interquartilsabstand (IQR) misst die mittleren 50 % der Daten und hilft, Variabilität und Ausreißer zu identifizieren.
• Quartile werden häufig in der Statistik, im Finanzwesen und in der Datenanalyse verwendet, um Verteilungen und Risiken zu verstehen.
• Tabellenkalkulationsfunktionen wie QUARTILE können schnell Quartile berechnen.

Was ist ein Quartil?

Quartile sind statistische Maße, die einen Datensatz in vier gleiche Teile teilen, die jeweils 25 % der Beobachtungen repräsentieren. Durch Anordnung der Datenpunkte in aufsteigender Reihenfolge können Sie drei Quartilwerte identifizieren: das untere Quartil, das Medianquartil und das obere Quartil. Diese Maße helfen, die Streuung und Verteilung der Daten zu analysieren und bieten Einblicke, wie einzelne Werte im Vergleich zum gesamten Datensatz abschneiden.1

Die Rolle von Quartilen in der Datenanalyse

Um das Quartil zu verstehen, ist es wichtig, den Median als Maß der zentralen Tendenz zu verstehen. Der Median in der Statistik ist der mittlere Wert einer Zahlenmenge. Es ist der Punkt, an dem genau die Hälfte der Daten unter und über dem zentralen Wert liegt.

Der Median ist ein robuster Schätzer der Lage, sagt aber nichts darüber aus, wie die Daten auf beiden Seiten seines Wertes verteilt oder gestreut sind. Hier kommt das Quartil ins Spiel. Das Quartil misst die Streuung der Werte oberhalb und unterhalb des Medians, indem es die Verteilung in vier Gruppen einteilt. Sie sind in vier Abschnitte von 25 % der Daten gruppiert, wobei die zweite und dritte Gruppe den Interquartilsabstand darstellen.

Der Median teilt die Daten in zwei Hälften, mit 50 % darunter und 50 % darüber. In ähnlicher Weise teilen Quartile die Daten in Viertel: 25 % unter dem unteren Quartil, 50 % unter dem Median und 75 % unter dem oberen Quartil.

Es gibt drei Quartilwerte: ein unteres Quartil, einen Median und ein oberes Quartil. Sie teilen den Datensatz in vier Bereiche, die jeweils 25 % der Datenpunkte enthalten:1

Erstes Quartil: Die Menge der Datenpunkte zwischen dem Minimalwert und dem ersten Quartil.

Zweites Quartil: Die Menge der Datenpunkte zwischen dem unteren Quartil und dem Median.

Drittes Quartil: Die Menge der Daten zwischen dem Median und dem oberen Quartil.

Viertes Quartil: Die Menge der Datenpunkte zwischen dem oberen Quartil und dem Maximalwert des Datensatzes.

Wie man Quartile mit einer Tabellenkalkulation berechnet

Angenommen, Sie haben eine Verteilung von Mathematiknoten in einer Klasse von 19 Schülern. Sie möchten sie in aufsteigender Reihenfolge in eine Zeile einer Tabellenkalkulation eingeben. Sie könnten auch eine Spalte verwenden:

Verwenden Sie die MEDIAN-Funktion, um den Medianwert zu erhalten:

=MEDIAN (A2:R2)

Verwenden Sie dann die Quartilfunktion, um die Werte für jedes Quartil zurückzugeben, wobei die zweite Variable in der Funktion das Quartil ist, für das Sie berechnen:

=QUARTILE (A2:R2, 1)

=QUARTILE (A2:R2, 2)

=QUARTILE (A2:R2, 3)

Sie sollten die Werte für jedes Quartil erhalten. Es besteht keine Notwendigkeit, das vierte Quartil zu berechnen, da es der letzte Wert in Ihrem Datensatz ist:

Median = 75

Q1 = 68.25

Q2 = 75

Q3 = 81.75

Sie können sehen, dass das erste Quartil Werte zwischen 59 und 68,5 enthält, das zweite Quartil Werte zwischen 68,5 und 75. Das dritte Quartil enthält Werte zwischen 75 und 81,75. Es kann helfen, es zu visualisieren:

Manuelle Methode zur Berechnung von Quartilen

Die manuelle Berechnung von Quartilen erfordert mehr Aufwand, da Formeln involviert sind. Mit denselben Werten wie im Tabellenkalkulationsbeispiel würde es wie folgt aussehen:

59, 60, 65, 65, 68, 69, 70, 72, 75, 75, 76, 77, 81, 82, 84, 87, 90, 95, 98

Sie können jedes Quartil mit der folgenden Formel berechnen:

First Quartile (Q1) = (n + 1) x 1/4

Second Quartile (Q2), or the median = (n + 1) x 2/4

Third Quartile (Q3) = (n + 1) x 3/4

n ist die Anzahl der ganzen Zahlen in Ihrem Datensatz, und das Ergebnis ist die Position der Zahl im sequenziellen Datensatz. Also:

First Quartile (Q1) = 20 x 1/4 = 5

Second Quartile (Q2) = 20 x 2/4 = 10

Third Quartile (Q3) = 20 x 3/4 = 15

Hier haben wir den Q1 (fünften) Wert von 68, den Q2 (zehnten und den Median) Wert von 75 und den Q3 (fünfzehnten) Wert von 84. Die Ergebnisse unterscheiden sich geringfügig von den Tabellenkalkulationsergebnissen, da die Tabellenkalkulation sie anders berechnet. Ihr Graph würde dann so aussehen:

Quartile helfen bei der Berechnung des Interquartilsabstands, der die Variabilität um den Median herum anzeigt. Es ist der Bereich zwischen dem ersten und dritten Quartil.

Sie hätten in diesem Beispiel einen Interquartilsabstand von 68 bis 84, vom fünften Wert bis zum zehnten Wert im Datensatz.

Wichtige Überlegungen bei der Quartilanalyse

Man kann sagen, dass es eine größere Streuung unter den kleineren Werten des Datensatzes gibt als unter den größeren Werten, wenn der Datenpunkt für Q1 weiter vom Median entfernt ist als Q3 vom Median. Die gleiche Logik gilt, wenn Q3 weiter von Q2 entfernt ist als Q1 vom Median. Dies wird als Quartilsschiefe bezeichnet.

Ein weiterer zu berücksichtigender Aspekt ist, ob es eine gerade Anzahl von Datenpunkten gibt. In diesem Fall würden Sie den Durchschnitt der beiden mittleren Zahlen verwenden, um den Median zu erhalten. Im obigen Beispiel wäre der Median ihrer Noten das arithmetische Mittel der zehnten und elften Zahl, wenn Sie 20 Schüler statt 19 hätten.

Erklärt wie für ein fünfjähriges Kind

Quartile teilen eine Liste von Zahlen in vier gleiche Gruppen. Dies hilft zu sehen, wo die meisten Werte liegen und wie verteilt die Daten sind. Im Finanzwesen werden Quartile häufig verwendet, um die Anlageperformance zu vergleichen und Risiken zu verstehen.

Wie findet man das untere Quartil eines Datensatzes?

Der beste Weg ist die Verwendung einer Tabellenkalkulation und der QUARTILE-Funktion. Die Funktion "=QUARTILE(A1:A53,1)" gibt das erste (untere) Quartil Ihres Datensatzes zurück.

Wie findet man das obere Quartil eines Datensatzes?

Eine Tabellenkalkulation und die QUARTILE-Funktion sind der schnellste Weg, das obere Quartil zu finden. Die Funktion "=QUARTILE(A1:A53,3)" gibt das dritte (obere) Quartil Ihres Datensatzes zurück.

Was ist der Interquartilsabstand eines Datensatzes?

Der Interquartilsabstand ist die mittleren 50 % der Messungen in einem Datensatz: der Bereich der Daten zwischen dem oberen Quartil und dem unteren Quartil. Dies ist statistisch aussagekräftiger als die Verwendung des gesamten Datenbereichs, da es mögliche Ausreißer auslässt.