Regression

Wichtige Erkenntnisse

• Die Regression misst die Beziehung zwischen einer abhängigen Variable und einer oder mehreren unabhängigen Variablen.
• Die lineare Regression schätzt diese Beziehung mithilfe einer Ausgleichsgeraden.
• Die Regression wird im Finanzwesen und in der Wirtschaft häufig für Prognosen und Vermögensanalyse eingesetzt.
• Eine korrekte Interpretation setzt voraus, dass grundlegende Annahmen über die Daten erfüllt sind.

Was ist Regression?

Die Regression analysiert, wie Änderungen einer oder mehrerer unabhängiger Variablen mit Änderungen einer abhängigen Variable zusammenhängen. Sie wird häufig verwendet, um Beziehungen zu schätzen und Vorhersagen zu treffen.

Die lineare Regression ist die häufigste Form dieser Technik. Sie stellt die lineare Beziehung zwischen zwei Variablen her und wird auch als einfache Regression oder Ordinary-Least-Squares-Regression (OLS) bezeichnet.

Die lineare Regression wird grafisch durch eine gerade Ausgleichsgerade dargestellt, wobei die Steigung definiert, wie sich die Änderung einer Variable auf die Änderung der anderen auswirkt. Der y-Achsenabschnitt einer linearen Regressionsbeziehung stellt den Wert der abhängigen Variable dar, wenn der Wert der unabhängigen Variable Null ist. Nichtlineare Regressionsmodelle existieren ebenfalls, sind aber wesentlich komplexer.

Die Regression wird in der Wirtschaft eingesetzt, um Investmentmanagern bei der Bewertung von Vermögenswerten zu helfen und die Beziehungen zwischen Faktoren wie Rohstoffpreisen und den Aktien von Unternehmen, die mit diesen Rohstoffen handeln, zu verstehen. Sie ist ein leistungsstarkes Werkzeug, um Zusammenhänge zwischen in Daten beobachteten Variablen aufzudecken, kann aber nicht ohne weiteres Kausalität anzeigen.

Regression als statistische Technik sollte nicht mit dem Konzept der Regression zur Mitte, auch bekannt als Mean Reversion, verwechselt werden.

Joules Garcia / Investopedia

Wie Regression funktioniert

Die Regression quantifiziert die Stärke und statistische Signifikanz von in Daten beobachteten Beziehungen. Die beiden grundlegenden Typen der Regression sind die einfache lineare Regression und die multiple lineare Regression, es gibt jedoch auch nichtlineare Regressionsmethoden für komplexere Daten und Analysen.

Die einfache lineare Regression verwendet eine unabhängige Variable, um das Ergebnis der abhängigen Variable Y zu erklären oder vorherzusagen. Die multiple lineare Regression verwendet zwei oder mehr unabhängige Variablen, um das Ergebnis vorherzusagen. Analysten können die schrittweise Regression verwenden, um jede im linearen Regressionsmodell enthaltene unabhängige Variable zu untersuchen.

Die Regression kann Finanz- und Investmentfachleuten helfen. Ein Unternehmen könnte sie nutzen, um Umsätze auf der Grundlage von Wetter, früheren Umsätzen, Wachstum des Bruttoinlandsprodukts (BIP) oder anderen Bedingungen vorherzusagen. Das Capital Asset Pricing Model (CAPM) ist ein Regressionsmodell, das im Finanzwesen häufig zur Bewertung von Vermögenswerten und zur Ermittlung der Kapitalkosten eingesetzt wird.

Regression und Ökonometrie

Die Ökonometrie ist eine Reihe statistischer Techniken, die zur Analyse von Daten in den Bereichen Finanzen und Wirtschaft eingesetzt werden. Sie untersucht effektiv den Einkommenseffekt anhand beobachtbarer Daten. Ein Ökonom könnte die Hypothese aufstellen, dass die Konsumausgaben mit steigendem Einkommen zunehmen.

Anschließend kann eine Regressionsanalyse durchgeführt werden, um die Stärke des Zusammenhangs zwischen Einkommen und Konsum zu verstehen, wenn die Daten zeigen, dass ein solcher Zusammenhang besteht. Sie kann anzeigen, ob dieser Zusammenhang statistisch signifikant ist.

Sie können mehrere unabhängige Variablen in eine Analyse einbeziehen, wie z.B. Veränderungen des BIP und der Inflation sowie der Arbeitslosigkeit, um Aktienmarktpreise zu erklären. Wenn mehr als eine unabhängige Variable enthalten ist, wird das Modell zur multiplen linearen Regression, einem gängigen Werkzeug in der Ökonometrie.

Wichtig

Die Ökonometrie wird manchmal dafür kritisiert, dass sie sich zu stark auf die Interpretation der Regressionsergebnisse verlässt, ohne sie mit der Wirtschaftstheorie zu verknüpfen oder nach kausalen Mechanismen zu suchen. Es ist entscheidend, dass die in den Daten gefundenen Ergebnisse durch eine Theorie angemessen erklärt werden können.

Berechnung der Regression

Lineare Regressionsmodelle verwenden häufig einen Ansatz der kleinsten Quadrate, um die Ausgleichsgerade zu bestimmen. Die Methode der kleinsten Quadrate wird durch Minimierung der durch eine mathematische Funktion erzeugten Quadratsumme bestimmt. Ein Quadrat wird dann durch Quadrieren des Abstands zwischen einem Datenpunkt und der Regressionslinie oder dem Mittelwert des Datensatzes ermittelt.

Ein Regressionsmodell wird erstellt, wenn dieser Prozess abgeschlossen ist. Dies geschieht in der Regel mit Software. Die allgemeine Form jedes Regressionsmodelltyps lautet:

Einfache lineare Regression:

Y=a+bX+u\begin{aligned}&Y = a + bX + u \\\end{aligned}​Y=a+bX+u​

Multiple lineare Regression:

Y=a+b1X1+b2X2+b3X3+...+btXt+uwobei:Y=Die abhängige Variable, die Sie vorhersagen oder erklären möchtenX=Die erklärende(n) (unabhängige(n) Variable(n), die Sie zur Vorhersage oder Assoziation mit Y verwendena=Der y-Achsenabschnittb=(Beta-Koeffizient) ist die Steigung der erklärenden Variable(n)u=Das Regressionsresiduum oder der Fehlerterm\begin{aligned}&Y = a + b_1X_1 + b_2X_2 + b_3X_3 + ... + b_tX_t + u \\&\textbf{wobei:} \\&Y = \text{Die abhängige Variable, die Sie vorhersagen oder erklären möchten} \\&\text{oder erklären} \\&X = \text{Die erklärende(n) (unabhängige(n) Variable(n), die Sie } \\&\text{zur Vorhersage oder Assoziation mit Y verwenden} \\&a = \text{Der y-Achsenabschnitt} \\&b = \text{(Beta-Koeffizient) ist die Steigung der erklärenden} \\&\text{Variable(n)} \\&u = \text{Das Regressionsresiduum oder der Fehlerterm} \\\end{aligned}​Y=a+b1​X1​+b2​X2​+b3​X3​+...+bt​Xt​+u

Beispiel einer Regressionsanalyse im Finanzwesen

Die Regression wird häufig verwendet, um zu bestimmen, wie bestimmte Faktoren wie der Preis eines Rohstoffs, Zinssätze, bestimmte Branchen oder Sektoren die Preisbewegung eines Vermögenswerts beeinflussen. Das CAPM basiert auf der Regression und wird verwendet, um die erwarteten Renditen von Aktien zu prognostizieren und Kapitalkosten zu ermitteln. Die Renditen einer Aktie werden gegen die Renditen eines breiteren Index wie des S&P 500 regressiert, um ein Beta für die jeweilige Aktie zu generieren.

Beta ist das Risiko der Aktie im Verhältnis zum Markt oder Index und wird als Steigung im CAPM dargestellt. Die Rendite der betreffenden Aktie wäre die abhängige Variable Y. Die unabhängige Variable X wäre die Marktrisikoprämie.

Zusätzliche Variablen wie die Marktkapitalisierung einer Aktie, Bewertungskennzahlen und aktuelle Renditen können dem CAPM hinzugefügt werden, um bessere Schätzungen für Renditen zu erhalten. Diese zusätzlichen Faktoren sind als Fama-French-Faktoren bekannt. Sie sind nach den Professoren benannt, die das multiple lineare Regressionsmodell entwickelt haben, um Vermögensrenditen besser zu erklären.1

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Die Regression versucht herauszufinden, ob es eine Beziehung zwischen zwei Dingen gibt, wie zum Beispiel, ob es einen Zusammenhang gibt zwischen dem, wie Sie eine Sache tun, und dem, wie Sie eine oder mehrere andere Sachen tun.

Die Regression hilft Ihnen, fundierte Vermutungen oder Vorhersagen auf der Grundlage vergangener Informationen zu treffen. Es geht darum, ein Muster zwischen zwei oder mehr Dingen zu finden und dieses Muster zu nutzen, um eine gute Vermutung darüber anzustellen, was in der Zukunft passieren könnte.

Warum heißt diese Methode Regression?

Es gibt einige Debatten über die Herkunft des Namens, aber diese statistische Technik wurde höchstwahrscheinlich von Sir Francis Galton im 19. Jahrhundert als „Regression“ bezeichnet. Sie beschrieb das statistische Merkmal biologischer Daten, wie z.B. die Körpergröße von Menschen in einer Population, zu einem Mittelwert zurückzukehren. Es gibt kleinere und größere Menschen, aber nur Ausreißer sind sehr groß oder sehr klein, und die meisten Menschen gruppieren sich irgendwo um den Durchschnitt oder „regredieren“ zu ihm.2

Was ist der Zweck der Regression?

Die Regression wird in der statistischen Analyse verwendet, um die Zusammenhänge zwischen Variablen in bestimmten Daten zu identifizieren. Sie kann die Stärke eines solchen Zusammenhangs aufzeigen und seine statistische Signifikanz bestimmen. Die Regression ist ein leistungsstarkes Werkzeug für statistische Inferenz und wurde verwendet, um zukünftige Ergebnisse auf der Grundlage vergangener Beobachtungen vorherzusagen.

Wie interpretiere ich ein Regressionsmodell?

Eine Regressionsmodellausgabe könnte die Form Y = 1.0 + (3.2)X1 - 2.0(X2) + 0.21 haben.

Hier haben wir eine multiple lineare Regression, die eine Variable Y mit zwei erklärenden Variablen X1 und X2 in Beziehung setzt. Wir würden das Modell so interpretieren, dass sich der Wert von Y um das 3.2-fache ändert, wenn sich X1 um eine Einheit ändert. Wenn X1 um 2 steigt, steigt Y um 6.4, unter sonst gleichen Bedingungen.

Dies bedeutet, dass X1 bei Kontrolle von X2 diese beobachtete Beziehung aufweist. Jeder eine Einheit Anstieg von X2 ist mit einer 2-fachen Abnahme von Y verbunden, wenn X1 konstant bleibt. Wir können auch den y-Achsenabschnitt von 1.0 beachten, was bedeutet, dass Y = 1 ist, wenn sowohl X1 als auch X2 Null sind. Der Fehlerterm oder das Residuum beträgt 0.21.3

Welche Annahmen müssen für Regressionsmodelle gelten?

Vier Hauptannahmen über den zugrunde liegenden Datenprozess dessen, was Sie analysieren, müssen erfüllt sein, um die Ausgabe eines Regressionsmodells korrekt zu interpretieren:

Die Beziehung zwischen den Variablen ist linear.

Es muss Homoskedastizität vorliegen, oder die Varianz der Variablen und des Fehlerterms muss konstant bleiben.

Alle erklärenden Variablen sind voneinander unabhängig.

Alle Variablen sind normalverteilt.4