Standardabweichung

Standardabweichung: Formel und Anwendungen, vs. Varianz

Wichtige Erkenntnisse

Die Standardabweichung misst, wie weit Werte in einem Datensatz typischerweise vom Mittelwert abweichen.
Sie wird als Quadratwurzel der Varianz berechnet.
Im Finanzwesen wird die Standardabweichung häufig verwendet, um die Volatilität oder das Risiko einer Anlage zu messen.
Vermögenswerte mit höheren Standardabweichungen neigen zu größeren Kursschwankungen.
Unternehmen verwenden die Standardabweichung auch, um Risiken zu bewerten, Nachfragen zu prognostizieren und operative Schwankungen zu überwachen.
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Was ist die Standardabweichung?

Die Standardabweichung ist ein statistisches Maß, das untersucht, wie weit diskrete Punkte in einem Datensatz vom Mittelwert dieses Satzes gestreut sind. Sie wird als Quadratwurzel der Varianz berechnet.

Wenn Datenpunkte weit vom Mittelwert entfernt sind, liegt eine höhere Abweichung innerhalb des Datensatzes vor.

Investopedia / Alex Dos Diaz

Verständnis der Standardabweichung

Die Standardabweichung ist ein statistisches Maß, das häufig im Finanz- und Anlagewesen verwendet wird.

Für die Kursvolatilität

Angewendet auf die jährliche Rendite einer Anlage kann sie Informationen über die historische Volatilität dieser Anlage liefern. Das bedeutet, sie zeigt, wie stark der Kurs dieser Anlage im Laufe der Zeit geschwankt hat.

Je größer die Standardabweichung von Wertpapieren, desto größer die Varianz zwischen jedem Kurs und dem Mittelwert, was eine größere Kursspanne zeigt.

Zum Beispiel hat eine volatile Aktie eine hohe Standardabweichung, was bedeutet, dass ihr Kurs häufig steigt und fällt. Die Standardabweichung einer stabilen Blue-Chip-Aktie hingegen ist in der Regel eher niedrig, was bedeutet, dass ihr Kurs normalerweise stabil ist.

Für Kurstrends

Die Standardabweichung kann auch verwendet werden, um Leistungstrends vorherzusagen. Im Anlagebereich beispielsweise ist ein Indexfonds darauf ausgelegt, einen Referenzindex nachzubilden. Das bedeutet, dass der Fonds eine geringe Standardabweichung vom Wert des Referenzindex aufweisen sollte.

Andererseits haben aggressive Wachstumsfonds oft eine hohe Standardabweichung von relativen Aktienindizes. Dies liegt daran, dass ihre Portfoliomanager aggressive Wetten eingehen, um überdurchschnittliche Renditen zu erzielen.

Diese höhere Standardabweichung korreliert mit dem Risikoniveau, das Anleger von diesem Index erwarten können.

Die Standardabweichung ist eine der wichtigsten fundamentalen Risikokennzahlen, die Analysten, Portfoliomanager und Berater verwenden. Investmentgesellschaften berichten die Standardabweichung ihrer Investmentfonds und anderer Produkte.

Eine große Streuung zeigt, wie stark die Rendite des Fonds von den erwarteten normalen Renditen abweicht. Da sie leicht zu verstehen ist, wird diese Statistik regelmäßig an die Endkunden und Anleger berichtet.

Warnung

Die Standardabweichung behandelt alle Volatilität als Risiko – selbst wenn Kursbewegungen positiv sind, wie überdurchschnittliche Renditen.

Formel der Standardabweichung

Die Standardabweichung wird berechnet, indem die Quadratwurzel eines Werts gezogen wird, der aus dem Vergleich von Datenpunkten mit einem kollektiven Mittelwert einer Grundgesamtheit abgeleitet wird. Die Formel lautet:

Berechnung der Standardabweichung

Die Standardabweichung wird wie folgt berechnet:

Berechnen Sie den Mittelwert aller Datenpunkte: Addieren Sie die Werte der Datenpunkte und teilen Sie durch die Anzahl der Datenpunkte.

Berechnen Sie die Varianz für jeden Datenpunkt: Subtrahieren Sie den Mittelwert vom Wert des Datenpunkts.

Quadrieren Sie die Varianz jedes Datenpunkts (aus Schritt 2).

Summieren Sie die quadrierten Varianzwerte (aus Schritt 3).

Teilen Sie die Summe der quadrierten Varianzwerte (aus Schritt 4) durch die Anzahl der Datenpunkte im Datensatz minus 1.

Ziehen Sie die Quadratwurzel des Quotienten (aus Schritt 5).

Wichtige Eigenschaften der Standardabweichung

Eine wichtige Eigenschaft der Standardabweichung ist die Additivität. Das bedeutet, dass Analysten oder Forscher, die die Standardabweichung verwenden, viele Datenpunkte vergleichen, anstatt Schlussfolgerungen nur auf der Analyse einzelner Datenpunkte zu ziehen. Additivität führt zu einem höheren Genauigkeitsgrad.

Eine weitere Eigenschaft der Standardabweichung ist die Skaleninvarianz. Dies ist besonders nützlich beim Vergleich der Variabilität von Datensätzen mit unterschiedlichen Maßeinheiten. Zum Beispiel, wenn ein Datensatz in Zoll und ein anderer in Zentimetern gemessen wird, können ihre Standardabweichungen dennoch direkt verglichen werden, ohne Einheiten umrechnen zu müssen.

Schließlich hat die Standardabweichung Eigenschaften der Symmetrie und Nichtnegativität. Das bedeutet, dass eine Standardabweichung immer positiv und symmetrisch um den Mittelwert verteilt ist. Diese Symmetrieeigenschaft impliziert, dass Abweichungen oberhalb des Mittelwerts durch Abweichungen unterhalb des Mittelwerts ausgeglichen werden, was zu einem Gesamtgleichgewicht des gesamten Datensatzes führt. Die Eigenschaft der ständigen Positivität bedeutet, dass eine Standardabweichung einen höheren Grad an Vergleichbarkeit aufweist, wenn man Standardabweichungen über Datensätze hinweg betrachtet.

Standardabweichung vs. Varianz

Varianz und Standardabweichung sind verwandte Statistiken. Die Varianz wird abgeleitet, indem der Mittelwert der Datenpunkte genommen wird, der Mittelwert von jedem Datenpunkt einzeln subtrahiert wird, jedes dieser Ergebnisse quadriert wird und dann ein weiterer Mittelwert dieser Quadrate gebildet wird. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz.

Die Varianz hilft, die Streuungsgröße der Daten im Vergleich zum Mittelwert zu bestimmen. Je größer die Varianz wird, desto mehr Variation in den Datenwerten tritt auf, und es kann eine größere Lücke zwischen einem Datenwert und einem anderen geben.

Wenn die Datenwerte alle nahe beieinander liegen, wird die Varianz kleiner sein. Dies ist jedoch schwieriger zu erfassen als die Standardabweichung, da Varianzen ein quadriertes Ergebnis darstellen, das möglicherweise nicht sinnvoll auf demselben Graphen wie der ursprüngliche Datensatz dargestellt werden kann.

Standardabweichungen sind in der Regel leichter vorstellbar und anwendbar. Die Standardabweichung wird in derselben Maßeinheit wie die Daten ausgedrückt, was bei der Varianz nicht unbedingt der Fall ist.

Mit der Standardabweichung können Statistiker feststellen, ob die Daten eine Normalkurve oder eine andere mathematische Beziehung aufweisen.

Wenn sich die Daten wie eine Normalkurve verhalten, liegen 68% der Datenpunkte innerhalb einer Standardabweichung vom Durchschnitts- oder Mittelwert-Datenpunkt.

Größere Varianzen führen dazu, dass mehr Datenpunkte außerhalb der Standardabweichung liegen. Kleinere Varianzen führen zu mehr Daten, die nahe am Durchschnitt liegen.

Wichtig

Die Standardabweichung wird grafisch als Breite einer Glockenkurve um den Mittelwert eines Datensatzes dargestellt. Je breiter die Kurve, desto größer die Standardabweichung eines Datensatzes vom Mittelwert.

Wie die Standardabweichung in Unternehmen verwendet wird

Die Standardabweichung wird nicht nur im Investmentbereich verwendet. Business-Analysten oder Unternehmen können die Standardabweichung auf verschiedene Weise nutzen, um Risiken zu bewerten, Vorhersagen zu treffen und Unternehmensabläufe zu verwalten.

Risikomanagement

Die Standardabweichung wird im Unternehmen häufig für das Risikomanagement verwendet. Sie hilft Unternehmen, verschiedene Arten von Risiken zu quantifizieren und zu managen.

Durch die Berechnung der Standardabweichung bestimmter Ergebnisse können Unternehmen die Volatilität oder Unsicherheit bewerten, die mit ihrer Arbeitsweise verbunden ist.

Zum Beispiel kann ein Unternehmen die Standardabweichung verwenden, um das Risiko von Retouren verschiedener Produkte zu messen.

Finanzanalyse

Im Finanz- und Rechnungswesen wird die Standardabweichung verwendet, um Finanzdaten zu analysieren und die Variabilität von Finanzleistungskennzahlen zu bewerten.

Zum Beispiel wird die Standardabweichung verwendet, um die Volatilität von Anlagerenditen zu messen. Dies kann verwendet werden, um Risiko-Rendite-Abwägungen und die Strategie, wie ein Unternehmen Kapital einsetzen möchte, zu bestimmen.

Prognose

Die Standardabweichung wird in der Verkaufsprognose verwendet, um die Variabilität von Verkaufsdaten zu bewerten und zukünftige Verkaufstrends vorherzusagen.

Sie hilft Unternehmen, Saisonalität, Trends und Muster in Verkaufsdaten zu identifizieren, die es ihnen ermöglichen, den Liquiditätsbedarf in naher Zukunft zu planen.

Qualitätskontrolle

In der Fertigung und im Betriebsmanagement wird die Standardabweichung verwendet, um die Produktqualität zu überwachen und zu verbessern.

Sie wird auch in Qualitätskontrollprozessen wie Six-Sigma-Methoden verwendet, um die Prozessfähigkeit zu messen, Fehler zu reduzieren und Fertigungsprozesse für verbesserte Qualität und Kundenzufriedenheit zu optimieren.

Projektmanagement

Die Standardabweichung wird im Projektmanagement verwendet, um die Projektleistung zu bewerten und Risiken zu managen.

Zum Beispiel kann die Standardabweichung die Analyse des kritischen Pfads und den Earned Value bewerten. Sie kann verwendet werden, um Abweichungen zu messen, den Fortschritt zu verfolgen und Risiken im Zusammenhang mit einem nicht erreichten kritischen Pfad oder Earned Value zu quantifizieren.

Stärken und Grenzen der Standardabweichung

Wie jedes statistische Maß zur Analyse von Daten hat auch die Standardabweichung sowohl Stärken als auch Grenzen, die berücksichtigt werden sollten.

Häufig verwendet

Bezieht alle Datenpunkte ein

Kann Datensätze kombinieren

Zusätzliche rechnerische Verwendungen

Auswirkung von Ausreißern

Etwas schwierig manuell zu berechnen

Geht bei Verwendung in vielen Finanzmodellen von einer Normalverteilung aus

Stärken

Häufig verwendet: Die Standardabweichung ist ein häufig verwendetes Maß für die Streuung. Viele Analysten sind wahrscheinlich besser mit der Standardabweichung vertraut als mit anderen statistischen Berechnungen der Datenabweichung. Aus diesem Grund wird die Standardabweichung von einer Vielzahl von Berufen verwendet, von Anlegern bis zu Aktuaren.

Bezieht alle Datenpunkte ein: Die Standardabweichung schließt alle Beobachtungen ein. Jeder Datenpunkt wird in die Analyse einbezogen. Andere Abweichungsmessungen wie die Spannweite messen nur die am weitesten gestreuten Punkte, ohne die dazwischenliegenden Punkte zu berücksichtigen. Daher wird die Standardabweichung oft als ein robusteres, genaueres Maß im Vergleich zu anderen Beobachtungen angesehen.

Kann Datensätze kombinieren: Die Standardabweichung zweier Datensätze kann mithilfe einer spezifischen kombinierten Standardabweichungsformel kombiniert werden. Es gibt keine ähnlichen Formeln für andere Streuungsbeobachtungsmaße in der Statistik.

Zusätzliche rechnerische Verwendungen: Im Gegensatz zu anderen Beobachtungsmethoden kann die Standardabweichung in zusätzlichen algebraischen Berechnungen verwendet werden, was bedeutet, dass die Standardabweichung eine gewisse Vielseitigkeit aufweist.

Grenzen

Auswirkung von Ausreißern: Ausreißer haben einen stärkeren Einfluss auf die Standardabweichung. Dies gilt insbesondere, wenn man bedenkt, dass die Differenz vom Mittelwert quadriert wird, was zu einer noch größeren Größe im Vergleich zu anderen Datenpunkten führt. Beachten Sie daher, dass die Standardbeobachtung extremen Werten natürlicherweise mehr Gewicht verleiht.

Etwas schwierig manuell zu berechnen: Im Gegensatz zu anderen Streuungsmaßen wie der Spannweite (höchster Wert minus niedrigster Wert) erfordert die Standardabweichung mehrere umständliche Schritte und ist im Vergleich zu einfacheren Messungen anfälliger für Rechenfehler. Diese Hürde kann durch die Verwendung eines Bloomberg-Terminals umgangen werden.

Geht von Normalverteilung aus: Die Standardabweichung funktioniert am besten, wenn die Daten einer normalen, glockenförmigen Kurve folgen. Wenn die Daten sehr schief sind oder extreme Ausreißer aufweisen, zeigt die Standardabweichung möglicherweise nicht die tatsächliche Variation oder das Risiko im Datensatz.

Tipp

Verwenden Sie Excel zur Berechnung der Standardabweichung. Geben Sie nach der Eingabe Ihrer Daten die Formel STDEV.S ein, wenn Ihr Datensatz numerisch ist, oder STDEVA, wenn Sie Text oder logische Werte einbeziehen möchten. Es gibt auch mehrere spezifische Formeln zur Berechnung der Standardabweichung für eine gesamte Grundgesamtheit.

Beispiele für Standardabweichung

Wenn Sie die Datenpunkte 5, 7, 3 und 7 haben und die Standardabweichung ermitteln möchten, addieren Sie sie zunächst:

Ermitteln Sie den Mittelwert des Datensatzes, indem Sie die Summe durch die Anzahl der Datenpunkte (4) teilen, gemäß der obigen Formel (n).

Dies ergibt einen Mittelwert von 5,5 (x̄).

Um die Varianz zu ermitteln, subtrahieren Sie den Mittelwert von jedem Datenpunkt und quadrieren dann jeden dieser Werte:

Addieren Sie die quadrierten Werte und teilen Sie das Ergebnis durch n-1, um die Varianz zu erhalten.

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 3,67, um die Standardabweichung zu ermitteln, die etwa 1,915 beträgt.

Volatilität des Apple-Aktienkurses

Oder betrachten Sie Aktien von Apple (AAPL) über fünf bestimmte Jahre. Die historischen Renditen der Apple-Aktie betrugen 34,65% für 2021, -26,40% für 2022, 49,01% für 2023, 30,70% für 2024 und 9,05% für 2025.1

Die durchschnittliche Rendite über die fünf Jahre betrug somit 19,40%.

Die Werte der jährlichen Rendite abzüglich des Mittelwerts betrugen dann 15,25%, -45,80%, 29,61%, 11,30% bzw. -10,35%.

Alle diese Werte werden dann quadriert, um 0,0233, 0,2098, 0,0877, 0,0128 und 0,0107 zu erhalten. Die Summe dieser Werte beträgt 0,3442. Die Division dieses Wertes durch 4 (N − 1) ergibt die Varianz (0,3442 ÷ 4) = 0,0860.

Die Quadratwurzel der Varianz wird gezogen, um die Standardabweichung von 0,2933 bzw. 29,33% zu erhalten.

Erklärt, als ob ich fünf wäre

Stellen Sie sich vor, Sie werfen mit Freunden Bälle in einen Korb.

Wenn die Würfe aller sehr nah am Korb landen, sind die Würfe konsistent und die Standardabweichung ist klein.

Wenn die Bälle über den gesamten Hof verstreut landen, sind die Würfe weit gestreut und die Standardabweichung ist groß.

Die Standardabweichung ist einfach eine Möglichkeit zu messen, wie weit die Zahlen vom Durchschnitt entfernt sind.

Was bedeutet eine hohe Standardabweichung?

Eine große Standardabweichung deutet darauf hin, dass die beobachteten Daten um den Mittelwert herum stark streuen. Eine kleine oder niedrige Standardabweichung würde dagegen darauf hinweisen, dass ein Großteil der beobachteten Daten eng um den Mittelwert gruppiert ist.

Was sagt Ihnen die Standardabweichung?

Die Standardabweichung beschreibt, wie stark ein Datensatz gestreut ist. Sie vergleicht jeden Datenpunkt mit dem Mittelwert aller Datenpunkte und gibt an, ob die Datenpunkte nahe am Mittelwert liegen oder ob sie weit gestreut sind. In einer Normalverteilung gibt die Standardabweichung an, wie weit Werte vom Mittelwert entfernt sind.

Wie finden Sie die Standardabweichung schnell?

Wenn Sie sich eine grafische Darstellung der Verteilung einiger beobachteter Daten ansehen, können Sie erkennen, ob die Form relativ schmal oder breit ist. Breitere Verteilungen haben größere Standardabweichungen. Alternativ verfügt Excel über integrierte Standardabweichungsfunktionen, die je nach Datensatz verwendet werden können.

Ist eine niedrigere Standardabweichung beim Investieren besser?

Eine niedrigere Standardabweichung ist nicht unbedingt besser. Sie weist auf ein geringeres Risiko hin, das Anleger bevorzugen oder auch nicht. Bei der Bewertung des Ausmaßes der Abweichung in ihren Portfolios sollten Anleger ihre Toleranz für Volatilität und ihre gesamten Anlageziele berücksichtigen. Aggressivere Anleger fühlen sich möglicherweise mit einer Anlagestrategie wohl, die Vehikel mit überdurchschnittlicher Volatilität wählt, während konservativere Anleger dies möglicherweise nicht tun.