Standardfehler

Wichtige Erkenntnisse

• Der Standardfehler (SE) ist die ungefähre Standardabweichung einer statistischen Stichprobenpopulation.
• Der Standardfehler misst die Variabilität eines Stichprobenmittelwerts vom wahren Mittelwert.
• Ein kleinerer Standardfehler deutet auf eine genauere Schätzung des Populationsmittelwerts hin.
• Der Standardfehler nimmt mit zunehmender Stichprobengröße ab.
• Investopedia / Joules Garcia
• Der Standardfehler (SE) ist eine Statistik, die zeigt, wie genau Stichprobendaten die gesamte Population repräsentieren. Er misst die Genauigkeit, mit der eine Stichprobenverteilung eine Population repräsentiert. In der Statistik weicht ein Stichprobenmittelwert vom tatsächlichen Mittelwert einer Population ab; diese Abweichung ist der Standardfehler des Mittelwerts.
• Der Standardfehler gilt als Teil der Inferenzstatistik bzw. der aus der Studie gezogenen Schlussfolgerungen. Er ist umgekehrt proportional zur Stichprobengröße: Je größer die Stichprobengröße, desto kleiner der Standardfehler, da die Statistik sich dem tatsächlichen Wert annähert.

Den Standardfehler verstehen

Der Begriff „Standardfehler" (kurz SE) wird verwendet, um die Standardabweichung verschiedener Stichprobenstatistiken wie des Mittelwerts oder Medians zu bezeichnen.

Wenn eine Population beprobt wird, wird in der Regel der Mittelwert (Durchschnitt) berechnet. Der Standardfehler beschreibt die Abweichung zwischen dem berechneten Mittelwert der Population und einem als bekannt oder genau akzeptierten Mittelwert. Dies hilft, etwaige zufällige Ungenauigkeiten bei der Erhebung der Stichprobe auszugleichen.

Der „Standardfehler des Mittelwerts" bezieht sich auf die Standardabweichung der Verteilung der Stichprobenmittelwerte aus einer Population. Die Beziehung zwischen Standardfehler und Standardabweichung ist so, dass bei einer gegebenen Stichprobengröße der Standardfehler gleich der Standardabweichung geteilt durch die Quadratwurzel der Stichprobengröße ist.

Die Abweichung des Standardfehlers wird als Zahl ausgedrückt. Manchmal ist es notwendig oder erwünscht, die Abweichung als Prozentsatz darzustellen. In Prozent dargestellt, wird sie als relativer Standardfehler bezeichnet.

Wichtig

Standardfehler und Standardabweichung sind Maße der Variabilität, während Maße der zentralen Tendenz Mittelwert, Median usw. umfassen.

Je kleiner der Standardfehler, desto repräsentativer ist die Stichprobe für die Gesamtpopulation. Und je mehr Datenpunkte in die Berechnung des Mittelwerts einfließen, desto kleiner tendenziell der Standardfehler. In Fällen, in denen der Standardfehler groß ist, können die Daten einige bemerkenswerte Unregelmäßigkeiten aufweisen.

Wenn mehrere Stichproben erhoben werden, kann der Mittelwert jeder Stichprobe leicht von den anderen abweichen, was zu einer Streuung zwischen den Variablen führt. Diese Streuung wird am häufigsten als Standardfehler gemessen, der die Unterschiede zwischen den Mittelwerten über die Datensätze hinweg berücksichtigt.

So berechnen Sie den Standardfehler: Formel erklärt

Im algorithmischen Handel wird der Standardfehler einer Schätzung als Standardabweichung geteilt durch die Quadratwurzel der Stichprobengröße berechnet:

SE=σ√n wo: σ=Die Standardabweichung der Population √n=Die Quadratwurzel der Stichprobengröße \begin{aligned}&\text{SE} = \frac{\sigma}{\surd n}\\&\textbf{wo:}\\&\sigma=\text{Die Standardabweichung der Population}\\&\surd n = \text{Die Quadratwurzel der Stichprobengröße}\end{aligned}​SE=√nσ​ wo: σ=Die Standardabweichung der Population √n=Die Quadratwurzel der Stichprobengröße​

Wenn die Standardabweichung der Population nicht bekannt ist, können Sie die Stichprobenstandardabweichung s im Zähler einsetzen, um den Standardfehler anzunähern.

Vergleich von Standardfehler und Standardabweichung

Die Standardabweichung stellt die Streuung jedes einzelnen Datenpunkts dar. Sie wird verwendet, um die Gültigkeit der Daten basierend auf der Anzahl der auf jeder Standardabweichungsstufe angezeigten Datenpunkte zu bestimmen.

Standardfehler dienen eher dazu, die Genauigkeit der Stichprobe oder die Genauigkeit mehrerer Stichproben zu bestimmen, indem die Abweichung innerhalb der Mittelwerte analysiert wird.

Der Standardfehler normalisiert die Standardabweichung in Bezug auf die in einer Analyse verwendete Stichprobengröße. Die Standardabweichung misst die Varianz oder Streuung der Daten um den Mittelwert. Der Standardfehler kann als die Streuung der Stichprobenmittelwertschätzungen um den wahren Populationsmittelwert betrachtet werden.

Verwendung des Standardfehlers zur Berechnung von Konfidenzintervallen

Wenn Statistiker oder Forscher einen Populationsparameter schätzen, kennen sie selten den genauen Wert. Stattdessen verwenden sie Stichprobendaten, um eine fundierte Schätzung abzugeben. Wie oben besprochen, ist dies das Konfidenzintervall. Dieser Bereich vermittelt ein Gefühl dafür, wie viel Unsicherheit die Schätzung umgibt.

Das Verständnis der Rolle des Standardfehlers bei Konfidenzintervallen kann bei der Interpretation von Studienergebnissen helfen. Wenn beispielsweise zwei Studien denselben Populationsmittelwert schätzen, aber sehr unterschiedliche Konfidenzintervalle aufweisen, liegt dies oft an Unterschieden im Standardfehler. Ein enges Intervall bedeutet ein größeres Vertrauen in die Präzision der Schätzung, während ein breiteres Intervall auf die Notwendigkeit von mehr Daten oder besseren Stichprobenmethoden hindeutet. In der Praxis helfen Konfidenzintervalle — gestützt durch den Standardfehler — Forschern und Entscheidungsträgern, die Zuverlässigkeit der Zahlen, auf die sie sich stützen, einzuschätzen.

Verwendung des Standardfehlers beim Hypothesentest

Der Standardfehler beeinflusst auch das Hypothesentesten, insbesondere beim Vergleich von Stichprobenstatistiken mit Populationsparametern. Bei Tests wie dem z-Test oder t-Test verwenden Sie den Standardfehler, um zu messen, wie weit das Stichprobenergebnis von dem entfernt ist, was wir erwarten würden, wenn die Nullhypothese wahr wäre. Er hilft zu bestimmen, ob der beobachtete Effekt wahrscheinlich auf Zufall beruht oder statistisch signifikant ist. Ohne den Standardfehler hätten wir keine Möglichkeit, die Zuverlässigkeit der Stichprobenschätzung zu beurteilen.

Sowohl beim z-Test als auch beim t-Test wird die Teststatistik durch Vergleich der Stichprobenstatistik, des hypothetischen Werts und des Standardfehlers berechnet. Dieses Verhältnis gibt an, um wie viele Standardfehler die Stichprobenstatistik von dem unter der Nullhypothese angenommenen Wert entfernt ist. Eine große Teststatistik deutet darauf hin, dass das Stichprobenergebnis weit vom erwarteten Wert entfernt ist, was darauf hindeuten könnte, dass die Nullhypothese abgelehnt werden sollte. Liegt das Ergebnis nahe — beispielsweise innerhalb von etwa zwei Standardfehlern — ist es wahrscheinlich nicht signifikant.

Diese Teststatistik wird dann verwendet, um einen p-Wert zu ermitteln, der die Wahrscheinlichkeit angibt, ein Ergebnis zu beobachten, das so extrem ist wie das in der Stichprobe, unter der Annahme, dass die Nullhypothese wahr ist. Je kleiner der Standardfehler, desto größer wird die Teststatistik sein. Deshalb wirkt sich der Standardfehler direkt darauf aus, ob ein Ergebnis statistisch signifikant ist.

Sie können sich dies auch anhand einer Glockenkurve vorstellen, bei der die Mitte die Nullhypothese darstellt. Ist der Standardfehler groß, ist die Kurve breiter und flacher, was bedeutet, dass beobachtete Ergebnisse weiter von der Mitte entfernt sein müssen, um als ungewöhnlich zu gelten. Ist der Standardfehler klein, ist die Kurve enger, und selbst kleine Abweichungen von der Mitte erscheinen extrem.

Einschränkungen bei der Verwendung des Standardfehlers

Einer der größten Nachteile bei der Verwendung des Standardfehlers ist, dass der Standardfehler eine zufällige und repräsentative Stichprobe voraussetzt. Wenn die Stichprobe verzerrt oder schlecht erhoben ist, kann der berechnete Standardfehler die wahre Unsicherheit unterschätzen oder falsch darstellen. Dies kann zu irreführenden Konfidenzintervallen oder ungenauen Hypothesentests führen.

Eine weitere Einschränkung ist, dass der Standardfehler bei kleinen Stichprobengrößen weniger zuverlässig wird. Bei kleinen Stichproben spiegelt die Schätzung der Variabilität möglicherweise nicht die wahre Populationsvarianz wider, was die Genauigkeit des Standardfehlers beeinträchtigt. Aus diesem Grund werden bei begrenzten Daten oft t-Tests bevorzugt, die mit Hilfe der t-Verteilung für kleine Stichprobengrößen angepasst werden, gegenüber z-Tests.

Der Standardfehler setzt auch voraus, dass die analysierten Daten einer bestimmten Verteilung folgen, typischerweise einer Normalverteilung. Wenn die zugrunde liegenden Daten stark verzerrt sind, Ausreißer enthalten oder die Annahmen des zentralen Grenzwertsatzes nicht erfüllen, dann könnte der Standardfehler die wahre Variabilität der Schätzung möglicherweise nicht genau wiedergeben.

Beispiel für den Standardfehler

Nehmen wir an, ein Analyst hat eine Zufallsstichprobe von 50 Unternehmen im S&P 500 untersucht, um den Zusammenhang zwischen dem KGV einer Aktie und der anschließenden 12-Monats-Performance am Markt zu verstehen.

Angenommen, die resultierende Schätzung beträgt -0,20, was darauf hindeutet, dass die Aktien für jeden 1,0 Punkt des KGV eine um 0,2 % schlechtere relative Performance aufweisen. In der Stichprobe von 50 wurde die Standardabweichung mit 1,0 ermittelt.

Der Standardfehler beträgt also:

Daher würden wir die Schätzung mit -0,20 % ± 0,14 angeben, was ein Konfidenzintervall von (-0,34 - -0,06) ergibt. Der wahre Mittelwert des Zusammenhangs des KGV auf die Renditen des S&P 500 würde daher mit hoher Wahrscheinlichkeit innerhalb dieses Bereichs liegen.

Nehmen wir nun an, wir erhöhen die Aktienstichprobe auf 100 und stellen fest, dass sich die Schätzung leicht von -0,20 auf -0,25 ändert und die Standardabweichung auf 0,90 sinkt. Der neue Standardfehler wäre somit:

SE=0.90√100=0.9010=0.09.\begin{aligned}&\text{SE} = \frac{0.90}{\surd100} = \frac{0.90}{10} = 0.09.\end{aligned}​

Das resultierende Konfidenzintervall wird zu -0,25 ± 0,09 = (-0,34 - -0,16), was einen engeren Wertebereich ergibt.

Praktische Anwendungen des Standardfehlers

Im Allgemeinen müssen Sie sich bei der Analyse von Daten des Standardfehlers bewusst sein, da er Ihnen sagen kann, wie viel Variation in den Stichprobendaten steckt. In Bezug auf Investitionen und Handel kann er verwendet werden, um zu bewerten, wie wahrscheinlich und in welchem Ausmaß die zukünftigen Renditen eines Vermögenswerts schwanken werden, sowie die Zuverlässigkeit historischer Durchschnittswerte.

Wenn Ihre Analyse beispielsweise einen Standardfehler von -0,25 ± 0,09 = (-0,34 - -0,16) ergibt, können Sie eine fundierte Vermutung anstellen, dass die zukünftigen Renditen Ihrer Anlage in diesen Bereich fallen sollten (sofern die Marktbedingungen gleich bleiben).

Was ist der Standardfehler?

Der Standardfehler ist intuitiv die Standardabweichung der Stichprobenverteilung. Mit anderen Worten, er zeigt, wie groß die wahrscheinliche Diskrepanz zwischen einem aus einer Stichprobe gewonnenen Punktschätzer und dem wahren Populationsmittelwert ist.

Was ist ein guter Standardfehler?

Der Standardfehler misst die Diskrepanz, die bei einer Stichprobenschätzung im Vergleich zum wahren Wert in der Population zu erwarten ist. Daher gilt: Je kleiner der Standardfehler, desto besser. Tatsächlich würde ein Standardfehler von Null (oder nahe Null) darauf hindeuten, dass der geschätzte Wert genau der wahre Wert ist.

Wie finden Sie den Standardfehler?

Der Standardfehler nimmt die Standardabweichung und teilt sie durch die Quadratwurzel der Stichprobengröße. Viele Statistiksoftwarepakete berechnen Standardfehler automatisch.