Varianz

Was ist Varianz in der Statistik? Definition, Formel und Beispiel

Wichtige Erkenntnisse

Varianz misst, wie weit Datenpunkte vom Mittelwert gestreut sind.
Eine höhere Varianz weist auf größere Variabilität und ein höheres Risiko hin, während eine niedrigere Varianz auf konsistentere Ergebnisse hindeutet.
Im Finanzwesen wird die Varianz zur Messung der Volatilität und des Risikos von Anlagen verwendet.
Die Varianz wird berechnet, indem die Differenzen zwischen jedem Datenpunkt und dem Mittelwert quadriert werden.
Die Quadratwurzel der Varianz ist die Standardabweichung, die im Finanzwesen häufiger verwendet wird.

Was ist Varianz?

Varianz ist ein statistisches Maß dafür, wie groß die Streuung innerhalb eines Datensatzes ist. Sie misst, wie weit jede Zahl im Satz vom Mittelwert (Durchschnitt) und damit von jeder anderen Zahl im Satz entfernt ist. Die Varianz wird oft durch dieses Symbol dargestellt: σ2. Die Quadratwurzel der Varianz ist die Standardabweichung (SD oder σ), die hilft, die Beständigkeit der Renditen einer Anlage im Laufe der Zeit zu bestimmen.

Investopedia / Alex Dos Diaz

Varianz verstehen

In der Statistik misst die Varianz die Variabilität vom Durchschnitt oder Mittelwert. Sie wird berechnet, indem die Differenzen zwischen jeder Zahl im Datensatz und dem Mittelwert genommen, die Differenzen quadriert werden, um sie positiv zu machen, und dann die Summe der Quadrate durch die Anzahl der Werte im Datensatz geteilt wird. Software wie Excel kann diese Berechnung erleichtern.

Die Varianz wird mit der folgenden Formel berechnet:

σ2=∑i=1n(xi−x‾)2Nwobei:xi=Jeder Wert im Datensatzx‾=Mittelwert aller Werte im DatensatzN=Anzahl der Werte im Datensatz\begin{aligned}&\sigma^2 = \frac { \sum_{i = 1} ^ { n } \big (x_i - \overline { x } \big ) ^ 2 }{ N } \\&\textbf{wobei:} \\&x_i = \text{Jeder Wert im Datensatz} \\&\overline { x } = \text{Mittelwert aller Werte im Datensatz} \\&N = \text{Anzahl der Werte im Datensatz} \\\end{aligned}σ2=N∑i=1n(xi−x)2wobei:xi=Jeder Wert im Datensatzx=Mittelwert aller Werte im DatensatzN=Anzahl der Werte im Datensatz

Tipp

Sie können die obige Formel auch verwenden, um die Varianz in anderen Bereichen als Investitionen und Handel zu berechnen, mit einigen geringfügigen Änderungen. Wenn Sie beispielsweise eine Stichprobenvarianz berechnen, um eine Populationsvarianz zu schätzen, wird der Nenner der Varianzgleichung zu N − 1, sodass die Schätzung unverzerrt ist und die Populationsvarianz nicht unterschätzt wird.

Vor- und Nachteile der Verwendung von Varianz

Wie jede Methode der Datenanalyse hat auch die Varianz Vor- und Nachteile.

Vorteile

Einfachheit: Die Varianz ist eine einfache Messgröße, die Statistiker verwenden können, um zu sehen, wie einzelne Zahlen innerhalb eines Datensatzes zueinander in Beziehung stehen, anstatt breitere mathematische Techniken wie das Anordnen von Zahlen in Quartilen zu verwenden.

Behandelt alle Abweichungen gleich: Der Vorteil der Varianz ist, dass sie alle Abweichungen vom Mittelwert unabhängig von ihrer Richtung gleich behandelt. Dies ermöglicht Analysten und Investoren, die gesamte Bandbreite an Risiko und Variabilität in einem Datensatz zu sehen, anstatt nur die positiven oder negativen.

Vermeidet den Anschein fehlender Variabilität: Die quadrierten Abweichungen können nicht null ergeben und den Anschein erwecken, dass es überhaupt keine Variabilität in den Daten gibt. Dies kann einige Fehlinterpretationen der Daten vermeiden.

Nachteile

Stärkere Gewichtung von Ausreißern: Ausreißer sind die Zahlen, die weit vom Mittelwert entfernt sind. Das Quadrieren dieser Zahlen gibt ihnen mehr Gewicht, was die Daten verzerren kann.

Wird oft nicht allein verwendet: Die Varianz wird oft als Zwischenschritt zur Ermittlung der Standardabweichung eines Datensatzes verwendet, und nicht als eigenständige Messgröße. Anleger können die Standardabweichung, die die Quadratwurzel der Varianz ist, verwenden, um zu beurteilen, wie konsistent die Renditen im Laufe der Zeit sind.

Einfachheit

Behandelt alle Abweichungen gleich

Vermeidet Anschein fehlender Variabilität

Stärkere Gewichtung von Ausreißern

Wird oft nicht allein verwendet

Wichtig

In einigen Fällen kann Risiko oder Volatilität eher als Standardabweichung denn als Varianz ausgedrückt werden, da erstere oft leichter zu interpretieren ist.

Beispiel für Varianz im Finanzwesen

Wenn die Renditen für Aktien der Company ABC im Jahr 1 10 %, im Jahr 2 20 % und im Jahr 3 −15 % betragen, beträgt der Durchschnitt dieser drei Renditen:

Die Differenzen zwischen jeder Rendite und dem Durchschnitt sind:

Das Quadrieren dieser Abweichungen ergibt 0,25 % für Jahr 1, 2,25 % für Jahr 2 und 4,00 % für Jahr 3.

Um die Varianz zu ermitteln, addieren Sie diese quadrierten Abweichungen und teilen Sie dann durch die Anzahl der Punkte im Datensatz minus eins:

Wenn Sie die Standardabweichung desselben Datensatzes ermitteln möchten, ziehen Sie die Quadratwurzel der Varianz:

Erklärt, als wäre ich fünf

Die Varianz sagt Ihnen, wie weit Zahlen vom Durchschnitt gestreut sind. Wenn die Zahlen nahe am Durchschnitt liegen, ist die Varianz niedrig. Wenn die Zahlen weit vom Durchschnitt entfernt sind, ist die Varianz hoch. Beim Investieren bedeutet eine höhere Varianz in der Regel ein höheres Risiko, da die Renditen weniger konsistent sind.

Was sind die Schritte zur Berechnung der Varianz?

Befolgen Sie diese Schritte zur Berechnung der Varianz:

Berechnen Sie den Mittelwert der Daten.

Ermitteln Sie die Differenz jedes Datenpunkts vom Mittelwert.

Quadrieren Sie jeden dieser Werte.

Addieren Sie alle quadrierten Werte.

Teilen Sie diese Summe der Quadrate durch n – 1 (für eine Stichprobe) oder N (für die Gesamtpopulation).

Wofür wird Varianz verwendet?

Die Varianz misst den Grad der Streuung in einem Datensatz von seinem Mittelwert. Sie zeigt das Ausmaß der Variation, die zwischen den Datenpunkten besteht. Visuell gilt: Je größer die Varianz, desto 'dicker' wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung sein. Im Finanzwesen kann eine höhere Varianz bei einer Anlage als riskanter oder volatiler interpretiert werden.

Warum wird Standardabweichung häufiger verwendet als Varianz?

Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Sie ist manchmal nützlicher, da das Ziehen der Quadratwurzel die Einheiten aus der Analyse entfernt. Dies ermöglicht direkte Vergleiche zwischen verschiedenen Dingen, die möglicherweise unterschiedliche Einheiten oder Größenordnungen haben. Zum Beispiel ermöglicht die Aussage, dass eine Erhöhung von X um eine Einheit Y um zwei Standardabweichungen erhöht, das Verständnis der Beziehung zwischen X und Y, unabhängig davon, in welchen Einheiten sie ausgedrückt werden.