Verbundwahrscheinlichkeit

Was ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit?

Eine gemeinsame Wahrscheinlichkeit ist die Chance, dass zwei oder mehr Ereignisse gleichzeitig eintreten. Damit eine gemeinsame Wahrscheinlichkeit funktioniert, müssen beide Ereignisse unabhängig voneinander sein. Zum Beispiel ist es die Wahrscheinlichkeit, eine Münze zu werfen und Kopf zu bekommen und einen Würfel zu werfen und eine Sechs zu erhalten. Ein weiteres Beispiel ist das Werfen zweier Würfel, die beide auf einer Drei landen. Sie können gemeinsame Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Venn-Diagrammen visualisieren. Gemeinsame Wahrscheinlichkeiten helfen Statistikern, Datenanalysten und Finanzfachleuten, Modelle zu erstellen, Risiken zu bewerten und Anlageentscheidungen zu treffen.

Wichtige Erkenntnisse

• Eine gemeinsame Wahrscheinlichkeit bestimmt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Ereignisse gleichzeitig stattfinden.
• Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit wird auch als Schnittmenge von zwei oder mehr Ereignissen bezeichnet.
• Sie können gemeinsame Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Venn-Diagrammen visualisieren.
• Sie wird häufig zur Erstellung statistischer Modelle und für Risikomanagemententscheidungen verwendet.
• Erhalten Sie personalisierte, KI-gestützte Antworten, die auf über 27 Jahren vertrauenswürdiger Expertise basieren.

Formel und Berechnung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit

Die Notation für die gemeinsame Wahrscheinlichkeit kann verschiedene Formen annehmen. Die folgende Formel stellt die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts von Ereignissen dar:

P (X⋂Y) wobei: X, Y = Zwei verschiedene Ereignisse, die sich überschneiden P(X und Y), P(XY) = Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit von X und Y \begin{aligned} & P\ \left ( X\bigcap Y \right ) \\ &\textbf{wobei:}\\ &X, Y = \text{Zwei verschiedene Ereignisse, die sich überschneiden}\\ &P(X \text{ und } Y), P(XY) = \text{Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit von X und Y}\\ \end{aligned}​P (X⋂Y) wobei: X, Y = Zwei verschiedene Ereignisse, die sich überschneiden P(X und Y), P(XY) = Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit von X und Y​

Kurzer Fakt

Obwohl die gemeinsame Wahrscheinlichkeit Ihnen helfen kann, die Wahrscheinlichkeit von zwei verschiedenen Ereignissen zu bestimmen, die gleichzeitig eintreten, zeigt sie nicht an, wie die beiden Ereignisse sich gegenseitig beeinflussen könnten.

Was sagt Ihnen die gemeinsame Wahrscheinlichkeit?

Wahrscheinlichkeit ist ein Bereich, der eng mit der Statistik verwandt ist und sich mit der Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses oder Phänomens befasst. Sie wird als Zahl zwischen 0 und 1 quantifiziert, wobei 0 eine unmögliche Eintrittswahrscheinlichkeit und 1 das sichere Eintreten eines Ereignisses angibt.

Zum Beispiel beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine rote Karte aus einem Kartenspiel zu ziehen, 1/2 = 0,5. Dies bedeutet, dass es eine gleiche Chance gibt, eine rote oder schwarze Karte zu ziehen, da es jeweils 26 von jeder Farbe im Deck gibt. Daher gibt es eine 50-50-Wahrscheinlichkeit, eine rote gegenüber einer schwarzen Karte zu ziehen.

Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit misst zwei Ereignisse, die gleichzeitig stattfinden. Sie kann nur auf Situationen angewendet werden, in denen mehr als eine Beobachtung gleichzeitig auftreten kann. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit, eine Karte zu ziehen, die sowohl rot als auch eine Sechs ist, beträgt P(6 ∩ red) = 2/52 = 1/26, da ein Kartenspiel zwei rote Sechsen hat – die Herz-Sechs und die Karo-Sechs. Da die Ereignisse rot und 6 unabhängig sind, können Sie auch die folgende Formel zur Berechnung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit verwenden:

P(6∩red)=P(6)×P(red)=4/52×26/52=1/26P(6 \cap red) = P(6) \times P(red) = 4/52 \times 26/52 = 1/26P(6∩red)=P(6)×P(red)=4/52×26/52=1/26

Das Symbol „∩“ in einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeit wird als Schnittmenge bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis X und Ereignis Y eintreten, ist dasselbe wie der Punkt, an dem sich X und Y überschneiden. Daher wird die gemeinsame Wahrscheinlichkeit auch als Schnittmenge von zwei oder mehr Ereignissen bezeichnet. Ein Venn-Diagramm ist vielleicht das beste visuelle Werkzeug, um eine Schnittmenge zu erklären:

Aus dem obigen Venn-Diagramm ist der Punkt, an dem sich beide Kreise überschneiden, die Schnittmenge, die zwei Beobachtungen enthält: die Herz-Sechs und die Karo-Sechs.

Gemeinsame Wahrscheinlichkeit vs. Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit sollte nicht mit der bedingten Wahrscheinlichkeit verwechselt werden, bei der es sich um die Wahrscheinlichkeit handelt, dass ein Ereignis eintritt, wenn eine andere Handlung oder ein anderes Ereignis eintritt. Die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit lautet wie folgt:

P(X,given Y) or P(X∣Y)P(X, given~Y) \text{ or } P(X | Y)P(X,given Y) or P(X∣Y)

Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses vom Eintreten eines anderen Ereignisses abhängt. Zum Beispiel: Aus einem Kartenspiel beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu ziehen, unter der Bedingung, dass Sie eine rote Karte gezogen haben, P(6│red) = 2/26 = 1/13, da es zwei Sechsen unter 26 roten Karten gibt.

Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit berücksichtigt nur die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Eintretens beider Ereignisse. Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann zur Berechnung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit verwendet werden, wie in dieser Formel gezeigt:

P(X∩Y)=P(X∣Y)×P(Y)P(X \cap Y) = P(X|Y) \times P(Y)P(X∩Y)=P(X∣Y)×P(Y)

Die Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintreten, ist die Wahrscheinlichkeit, dass X eintritt, unter der Bedingung, dass Y eintritt, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass Y eintritt. Mit dieser Formel ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig eine 6 und eine rote Karte zu ziehen, wie folgt:

P(6∩red)=P(6∣red)×P(red)=1/13×26/52=1/13×1/2=1/26\begin{aligned} &P(6 \cap red) = P(6|red) \times P(red) = \\ &1/13 \times 26/52 = 1/13 \times 1/2 = 1/26\\ \end{aligned}​P(6∩red)=P(6∣red)×P(red)=1/13×26/52=1/13×1/2=1/26​

Statistiker und Analysten verwenden die gemeinsame Wahrscheinlichkeit als Werkzeug, wenn zwei oder mehr beobachtbare Ereignisse gleichzeitig auftreten können. Beispielsweise kann die gemeinsame Wahrscheinlichkeit verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit eines Rückgangs des Dow Jones Industrial Average (DJIA) in Verbindung mit einem Rückgang des Aktienkurses von Microsoft zu schätzen, oder die Chance, dass der Ölpreis steigt, während der US-Dollar schwächer wird.

Wichtig

Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit hängt davon ab, dass die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind. Um festzustellen, ob sie wirklich unabhängig sind, ist es wichtig zu ermitteln, ob das Ergebnis des einen das andere beeinflusst. Wenn ja, sind sie abhängig, was zur bedingten Wahrscheinlichkeit führt. Wenn nicht, ergibt sich die gemeinsame Wahrscheinlichkeit.

Beispiel für gemeinsame Wahrscheinlichkeit

Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel hervorheben, um zu zeigen, wie die gemeinsame Wahrscheinlichkeit funktioniert. Dieses Beispiel verwendet Würfel, und wir möchten herausfinden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Sie mit jedem Würfel eine Vier würfeln. Denken Sie daran, jeder Würfel hat sechs Seiten.

Um die gemeinsame Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, müssen wir zunächst die Wahrscheinlichkeit jedes Wurfs ermitteln:

Die Chance, eine Drei auf dem ersten Würfel zu würfeln, beträgt 1/6

Die Chance, eine Drei auf dem zweiten Würfel zu würfeln, beträgt 1/6

Jetzt können wir die oben genannte Formel für die gemeinsame Wahrscheinlichkeit verwenden, um herauszufinden, wie hoch die gemeinsame Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis ist, indem wir jedes einzelne Ereignis miteinander multiplizieren.

1/6 x 1/6 = 1/36

Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, mit einem Paar Würfel zwei Vieren zu würfeln, 1/36 beträgt.

Was ist der Zweck der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit?

Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit ist ein statistisches Maß, das die Wahrscheinlichkeit angibt, dass zwei Ereignisse gleichzeitig stattfinden. Sie können es verwenden, um zu bestimmen

Was sind die Bedingungen für die gemeinsame Wahrscheinlichkeit?

Bestimmte Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine gemeinsame Wahrscheinlichkeit auftritt. Die erste Bedingung ist, dass die beiden fraglichen Ereignisse gleichzeitig eintreten müssen. Eine weitere Bedingung ist, dass beide Ereignisse unabhängig voneinander eintreten müssen. Daher können die Ergebnisse einander nicht beeinflussen.

Kann die gemeinsame Wahrscheinlichkeit größer als 1 sein?

Nein, die gemeinsame Wahrscheinlichkeit kann niemals größer als 1 sein. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1, wobei 0 bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Eintretens zweier Ereignisse unmöglich ist, während 1 angibt, dass ihr Eintreten sicher ist.