Wahrscheinlichkeitsadditionsregel

Wichtige Erkenntnisse

• Die Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten hilft, die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines von zwei Ereignissen zu berechnen.
• Verwenden Sie die Formel P(Y or Z) = P(Y) + P(Z) für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse, bei denen eine Überschneidung unmöglich ist.
• Für nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse wenden Sie P(Y or Z) = P(Y) + P(Z) - P(Y and Z) an, um die Überschneidung zu berücksichtigen.
• Nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse haben eine gewisse Überschneidung; passen Sie die Berechnungen an, um die doppelte Zählung ihrer gemeinsamen Wahrscheinlichkeit zu vermeiden.
• Die erste Formel der Additionsregel ist ein Spezialfall der zweiten, wenn keine Überschneidung vorliegt.

Was ist die Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten?

Die Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten beschreibt zwei Formeln. Eine definiert die Wahrscheinlichkeit, dass eines von zwei sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen eintritt, und die andere befasst sich mit der Wahrscheinlichkeit, dass eines von zwei nicht gegenseitig ausschließenden Ereignissen eintritt.

Die erste Formel ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse. Die zweite Formel ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse minus der Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten.

Formeln für die Additionsregel in Wahrscheinlichkeiten

Mathematisch wird die Wahrscheinlichkeit zweier sich gegenseitig ausschließender Ereignisse ausgedrückt durch:

P(Y or Z)=P(Y)+P(Z)P(Y \text{ or } Z) = P(Y)+P(Z)P(Y or Z)=P(Y)+P(Z)

Mathematisch wird die Wahrscheinlichkeit zweier nicht gegenseitig ausschließender Ereignisse ausgedrückt durch:

P(Y or Z)=P(Y)+P(Z)−P(Y and Z)P(Y \text{ or } Z) = P(Y) + P(Z) - P(Y \text{ and } Z)P(Y or Z)=P(Y)+P(Z)−P(Y and Z)

Einblicke in die Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten

Um die erste Regel der Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten zu veranschaulichen, betrachten Sie einen Würfel mit sechs Seiten und die Wahrscheinlichkeit, entweder eine 3 oder eine 6 zu würfeln. Da die Wahrscheinlichkeit, eine 3 zu würfeln, 1 zu 6 beträgt und die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, ebenfalls 1 zu 6 beträgt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, entweder eine 3 oder eine 6 zu würfeln:

Um die zweite Regel zu veranschaulichen, betrachten Sie eine Klasse mit 9 Jungen und 11 Mädchen. Am Ende des Semesters erhalten 5 Mädchen und 4 Jungen die Note B. Wenn ein Schüler zufällig ausgewählt wird, wie hoch sind die Chancen, dass der Schüler entweder ein Mädchen oder ein B-Schüler ist? Da die Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen auszuwählen, 11 zu 20 beträgt, die Wahrscheinlichkeit, einen B-Schüler auszuwählen, 9 zu 20 und die Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen auszuwählen, das ein B-Schüler ist, 5/20 beträgt, betragen die Chancen, ein Mädchen oder einen B-Schüler auszuwählen:

In Wirklichkeit vereinfachen sich die beiden Regeln zu nur einer Regel, der zweiten. Das liegt daran, dass im ersten Fall die Wahrscheinlichkeit, dass zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse beide eintreten, 0 ist. Im Beispiel mit dem Würfel ist es unmöglich, bei einem Wurf eines einzelnen Würfels sowohl eine 3 als auch eine 6 zu würfeln. Die beiden Ereignisse schließen sich also gegenseitig aus.

Untersuchung der gegenseitigen Ausschließlichkeit in Wahrscheinlichkeiten

Sich gegenseitig ausschließend ist ein statistischer Begriff, der zwei oder mehr Ereignisse beschreibt, die nicht gleichzeitig auftreten können. Er wird häufig verwendet, um eine Situation zu beschreiben, in der das Eintreten eines Ergebnisses das andere ausschließt. Betrachten Sie als einfaches Beispiel das Würfeln. Sie können nicht gleichzeitig eine Fünf und eine Drei auf einem einzelnen Würfel würfeln. Darüber hinaus hat das Würfeln einer Drei beim ersten Wurf keinen Einfluss darauf, ob ein nachfolgender Wurf eine Fünf ergibt. Alle Würfe eines Würfels sind unabhängige Ereignisse.

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