Wahrscheinlichkeitsverteilung

Wichtige Erkenntnisse

• Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt die wahrscheinlichsten und unwahrscheinlichsten Ereignisse auf der Grundlage einer Reihe von Variablen.
• Anleger nutzen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, um die potenziellen Renditen von Vermögenswerten wie Aktien im Laufe der Zeit zu prognostizieren und ihr Risiko gegen mögliche Verluste abzusichern.
• Zwei der grundlegenden Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind diskrete und kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
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Was ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmt in der Statistik die relative Wahrscheinlichkeit jedes möglichen Ergebnisses, das innerhalb eines bestimmten Zeitrahmens eintreten kann. Aktienanalysten nutzen sie, um die Wahrscheinlichkeit verschiedener Bewegungen des Aktienkurses anhand von Daten aus der Vergangenheit darzustellen.

Häufig in einer Glockenkurve dargestellt, kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung auch verwendet werden, um den Mindest- und Höchstbetrag an Ressourcen zu prognostizieren, den ein Unternehmen im nächsten Jahr wahrscheinlich benötigen wird, oder um die Wahrscheinlichkeit eines schweren Grippeausbruchs im Vergleich zu einem milden oder mittelschweren Ausbruch zu bestimmen.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist ein Zweig der Mathematik, der sich auf die Berechnung der relativen Wahrscheinlichkeit jedes möglichen Ereignisses konzentriert, das innerhalb einer Reihe von Variablen auftreten kann.

Wie Wahrscheinlichkeitsverteilungen funktionieren

Die vielleicht häufigste Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Normalverteilung oder Glockenkurve. Der datengenerierende Prozess eines Phänomens bestimmt in der Regel seine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dieser Prozess wird als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bezeichnet.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen können auch verwendet werden, um kumulative Verteilungsfunktionen (CDFs) zu erstellen, die die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen kumulativ addieren. Sie beginnen immer bei Null und enden bei 100%.1

Wissenschaftler, Finanzanalysten und Fondsmanager können die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer bestimmten Aktie bestimmen, um die möglichen erwarteten Renditen zu bewerten, die die Aktie in Zukunft erzielen könnte.

Wichtig

Die Renditehistorie einer Aktie kann in jedem Zeitintervall gemessen werden, ist aber in der Regel auf die jüngste Vergangenheit beschränkt. Dies kann die Analyse einem Stichprobenfehler aussetzen, der durch eine Vergrößerung des Stichprobenumfangs verringert werden kann.

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung vs. kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung

Diskrete und kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind zwei grundlegende Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die jeweils verschiedene Arten von Zufallsvariablen beschreiben. Das Verständnis der Unterschiede zwischen ihnen ist für die korrekte Anwendung statistischer Methoden und die Interpretation von Daten unerlässlich.

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreiben Szenarien, in denen die Menge der möglichen Ergebnisse abzählbar und endlich oder abzählbar unendlich ist. Diese Verteilungen werden verwendet, wenn die Zufallsvariable bestimmte, eindeutige Werte annehmen kann.

Zum Beispiel ist die Anzahl der Köpfe, die bei 10 Münzwürfen erscheinen, oder die Anzahl der Kunden, die in einer Stunde einen Laden betreten, Beispiele für diskrete Zufallsvariablen.

In diesen Szenarien können Sie alle möglichen Ergebnisse auflisten, wie z. B. null, eins, zwei usw. Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen können "unruhiger" sein, da es weniger mögliche Ergebnisse gibt.

Vergleich von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen gelten für Zufallsvariablen, die jeden Wert innerhalb eines bestimmten Bereichs annehmen können. Diese Werte sind nicht zählbar, da es in jedem Intervall unendlich viele Möglichkeiten gibt.

Zum Beispiel sind die genaue Körpergröße von Personen in einer Population oder die genaue Zeit, die für die Erledigung einer Aufgabe benötigt wird, kontinuierliche Variablen.

Es ist wahrscheinlicher, dass kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen glattere Verteilungskurven erzeugen, da mehr Ergebnisse möglich sind.

Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen haben viele Klassifikationen. Dazu gehören die Normal-, Chi-Quadrat-, Binomial- und Poisson-Verteilungen. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilungen dienen unterschiedlichen Zwecken und repräsentieren unterschiedliche Datengenerierungsprozesse.12

Binomialverteilung

Die Binomialverteilung bewertet die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis mehrmals in einer bestimmten Anzahl von Versuchen auftritt, gegeben die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in jedem Versuch.

Zum Beispiel könnte sie erzeugt werden, indem man verfolgt, wie viele Freiwürfe ein Basketballspieler in einem Spiel macht, wobei 1 = Korb und 0 = Fehlwurf.

Ein weiteres Beispiel wäre die Ermittlung der Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze bei 10 aufeinanderfolgenden Würfen Kopf zeigt. Eine Binomialverteilung ist diskret und nicht kontinuierlich, da die einzig gültigen Antworten eins oder null sind.3

Normalverteilung

Die am häufigsten verwendete Verteilung ist die Normalverteilung. Sie wird häufig in den Bereichen Finanzen, Investitionen, Wissenschaft und Technik verwendet. Die Normalverteilung ist vollständig durch ihren Mittelwert und ihre Standardabweichung gekennzeichnet.

Die Verteilung ist nicht schief und weist eine Kurtosis auf. Das heißt, die Form der Ergebnisse bei grafischer Darstellung gibt den Grad der beobachteten Unterschiede an, wie bei einer Glockenkurve.

Dies macht die Verteilung symmetrisch. Sie wird als glockenförmige Kurve dargestellt. Eine Normalverteilung ist definiert durch einen Mittelwert von Null und eine Standardabweichung von Eins, mit einer Schiefe von Null und einer Kurtosis von 3.

Ungefähr 68 % der Daten einer Normalverteilung liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert. Ungefähr 95 % liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen und 99,7 % innerhalb von drei Standardabweichungen.

Im Gegensatz zur Binomialverteilung ist die Normalverteilung kontinuierlich. Es werden alle möglichen Werte repräsentiert, nicht nur null und eins, ohne etwas dazwischen.4

Kurzer Fakt

Wahrscheinlichkeit ist das mathematische Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt. Es bezieht sich auch auf den Zweig der Mathematik, der sich mit Ereignissen und numerischen Beschreibungen ihrer Eintrittswahrscheinlichkeit befasst.

Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Ereignisse modelliert, die innerhalb eines festgelegten Zeit- oder Raumintervalls auftreten. Diese Ereignisse müssen unabhängig voneinander auftreten, und die durchschnittliche Rate (mittlere Anzahl der Ereignisse) muss konstant sein.

Das Hauptmerkmal der Poisson-Verteilung ist, dass sie die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Ereignissen beschreibt, die innerhalb eines bestimmten Intervalls eintreten, wenn die Ereignisse selten und unabhängig sind.

Die Poisson-Verteilung wird in verschiedenen realen Anwendungen eingesetzt, bei denen Ereignisse zufällig und unabhängig auftreten. Beispielsweise kann sie die Anzahl der Kundenankünfte in einer Bank in einer Stunde, die Anzahl der an einem Tag erhaltenen E-Mails oder die Anzahl der Telefonanrufe in einem Callcenter pro Minute modellieren.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Investmentbereich

Aktienrenditen weisen eine Kurtosis auf, wobei große negative und positive Bewegungen häufiger auftreten, als es eine Normalverteilung vorhersagen würde.

Die Verteilung der Aktienrenditen wurde als lognormal beschrieben, da Aktienkurse nach unten durch Null begrenzt sind, aber ein potenziell unbegrenztes Aufwärtspotenzial bieten. Dies zeigt sich in einem Diagramm der Aktienrenditen, bei dem die Enden der Verteilung eine größere Dicke aufweisen.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden häufig im Risikomanagement eingesetzt, um die Wahrscheinlichkeit und das Ausmaß von Verlusten zu bewerten, die ein Anlageportfolio auf der Grundlage einer Verteilung historischer Renditen erleiden könnte.

Eine beliebte Kennzahl im Risikomanagement ist der Value at Risk (VaR). Der VaR gibt den Mindestverlust an, der bei einer bestimmten Wahrscheinlichkeit und einem bestimmten Zeitrahmen für ein Portfolio auftreten kann.

Mithilfe des VaR kann ein Anleger die Wahrscheinlichkeit eines Verlusts in Höhe eines bestimmten Betrags und innerhalb eines bestimmten Zeitrahmens ermitteln. Es ist erwähnenswert, dass Missbrauch und übermäßiges Vertrauen in den VaR als eine der Hauptursachen für die Finanzkrise von 2008 angesehen werden.5

Wahrscheinlichkeitsverteilung und der zentrale Grenzwertsatz

Der zentrale Grenzwertsatz (CLT) ist ein statistisches Prinzip, das besagt, dass sich die Verteilung der Summe einer großen Anzahl unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen einer Normalverteilung annähert.

Dieser Satz ist wichtig, weil er es Statistikern ermöglicht, Rückschlüsse auf Populationsparameter zu ziehen, selbst wenn die Populationsverteilung unbekannt ist, solange die Stichprobengröße ausreichend groß ist.

Eine der wichtigsten Implikationen des CLT ist, dass die Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts bei großen Stichprobenumfängen annähernd normalverteilt ist.

Stellen Sie sich zum Beispiel eine Klasse von Schülern vor, bei der die Körpergröße jedes Schülers variiert, sie aber im Durchschnitt bei etwa 1,52 Metern liegen, mit einer gewissen Variabilität. Nach dem CLT wird die Verteilung der Stichprobenmittelwerte der Körpergröße tendenziell einer normalen (glockenförmigen) Kurve folgen.

Beispiel für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung

Betrachten Sie die Zahl, die beim Werfen von zwei standardmäßigen sechsseitigen Würfeln beobachtet wird. Jeder Würfel hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/6, eine beliebige Zahl von eins bis sechs zu würfeln, aber die Summe der beiden Würfel ergibt die in diesem Bild dargestellte Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Sieben ist das häufigste Ergebnis (1+6, 6+1, 5+2, 2+5, 3+4, 4+3). Zwei und 12 sind weitaus seltener (1+1 und 6+6).

Was macht eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gültig?

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist gültig, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

Jede Wahrscheinlichkeit ist größer oder gleich null und kleiner oder gleich eins.

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist gleich eins.

Wie werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Finanzwesen eingesetzt?

Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden im Finanzwesen für zwei Zwecke eingesetzt:

Um die wahrscheinlichen Renditen einer Anlage zu schätzen

Um das mögliche Ausmaß von Verlusten zu schätzen, gegen die abgesichert werden muss, wenn die Anlage getätigt wird.

Was sind die am häufigsten verwendeten Wahrscheinlichkeitsverteilungen?

Die am häufigsten verwendeten Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind die Gleichverteilung, Binomialverteilung, Bernoulli-Verteilung, Normalverteilung, Poisson-Verteilung und Exponentialverteilung.6

Was ist der Unterschied zwischen Wahrscheinlichkeit und Chancen (Odds)?

Die Wahrscheinlichkeit misst die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses, ausgedrückt als Verhältnis der Anzahl günstiger Ergebnisse zur Gesamtzahl möglicher Ergebnisse.

Chancen (Odds) stellen das Verhältnis der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, zur Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt, dar. Wenn die Wahrscheinlichkeit, ein Spiel zu gewinnen, beispielsweise 0,25 beträgt, beträgt das Chancenverhältnis 1:3 (ein Sieg zu drei Niederlagen).

Was ist das Gesetz der großen Zahlen?

Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass mit zunehmender Anzahl von Versuchen oder Experimenten der Durchschnitt der erzielten Ergebnisse sich dem erwarteten Wert oder der wahren Wahrscheinlichkeit annähert. Kurz gesagt, seine Genauigkeit nimmt zu.

Alle Studien stützen sich auf Stichproben, da es unmöglich ist, Daten über eine gesamte Population zu erheben. Dieses Prinzip stellt sicher, dass der Stichprobenmittelwert zum Populationsmittelwert konvergiert, je mehr Beobachtungen gesammelt werden, was der statistischen Inferenz Stabilität verleiht.