Wilcoxon-Test

Was ist der Wilcoxon-Test?

Der Wilcoxon-Test ist ein nichtparametrischer statistischer Hypothesentest, der zwei gepaarte Gruppen analysiert, um festzustellen, ob ein signifikanter statistischer Unterschied zwischen ihnen besteht.

Nichtparametrisch bedeutet, dass die Daten keine Normalverteilung aufweisen.

Der Wilcoxon-Test kann sich entweder auf den Rangsummentest oder auf die Version des Vorzeichen-Rang-Tests beziehen.

Wichtige Erkenntnisse

• Der Wilcoxon-Test kommt in zwei Versionen vor: dem Rangsummentest und dem Vorzeichen-Rang-Test.
• Das Ziel des Tests ist es zu bestimmen, ob sich zwei oder mehr Datenpaarmengen in statistisch signifikanter Weise voneinander unterscheiden.
• Beide Versionen des Modells gehen davon aus, dass die Paare in den Daten aus abhängigen Populationen stammen, d. h. sie folgen derselben Person oder demselben Aktienkurs über Zeit oder Ort hinweg.
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Den Wilcoxon-Test verstehen

Der Rangsummen- und der Vorzeichen-Rang-Test wurden beide von dem amerikanischen Statistiker Frank Wilcoxon in einem bahnbrechenden Forschungsartikel vorgeschlagen, der 1945 veröffentlicht wurde.

Die Tests legten den Grundstein für das Hypothesentesten der nichtparametrischen Statistik, das für Populationsdaten verwendet wird, die rangierbar sind, aber keine numerischen Werte aufweisen. Solche Daten könnten Kundenzufriedenheit oder Musikbewertungen umfassen.

Nichtparametrische Verteilungen haben keine Parameter und können nicht durch eine Gleichung definiert werden, wie es bei parametrischen Verteilungen möglich ist.1

Die Arten von Fragen, die der Wilcoxon-Test beantworten kann, umfassen:

Unterscheiden sich Testergebnisse von der 5. zur 6. Klasse bei denselben Schülern?

Hat ein bestimmtes Medikament eine Auswirkung auf die Gesundheit, wenn es an denselben Personen getestet wird?

Diese Modelle gehen davon aus, dass die Daten aus zwei gepaarten oder abhängigen Populationen stammen. Sie betreffen dieselbe Person oder Aktie über Zeit oder Ort hinweg.

Es wird zudem angenommen, dass die Daten stetig und nicht diskret sind. Da es sich um einen nichtparametrischen Test handelt, ist keine bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung der abhängigen Variablen in der Analyse erforderlich.

Arten von Wilcoxon-Tests

Wilcoxon-Rangsummentest

Der Wilcoxon-Rangsummentest kann verwendet werden, um die Nullhypothese zu testen, dass zwei Populationen dieselbe stetige Verteilung haben.

Eine Nullhypothese ist ein statistischer Test, der besagt, dass es keinen signifikanten Unterschied zwischen zwei Populationen oder Variablen gibt.

Die grundlegenden Annahmen, die für die Anwendung des Rangsummentests erforderlich sind, sind, dass die Daten aus derselben Population stammen und gepaart sind, die Daten mindestens auf einer Intervallskala messbar sind und die Daten zufällig und unabhängig ausgewählt wurden.

Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test

Der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test geht davon aus, dass Informationen in den Größen und Vorzeichen der Unterschiede zwischen gepaarten Beobachtungen enthalten sind.

Als nichtparametrisches Äquivalent zum gepaarten t-Test kann der Vorzeichen-Rang-Test als Alternative zum t-Test verwendet werden, wenn die Populationsdaten keiner Normalverteilung folgen.

Berechnung einer Wilcoxon-Teststatistik

Die Schritte zur Ermittlung einer Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Teststatistik W sind wie folgt:

Für jedes Element in einer Stichprobe von n Elementen erhalten Sie eine Differenzbewertung Di zwischen zwei Messungen (d. h. subtrahieren Sie eine von der anderen).

Ignorieren Sie die positiven oder negativen Vorzeichen und erhalten Sie eine Reihe von n absoluten Differenzen |Di|.

Lassen Sie Differenzbewertungen von Null weg, sodass Sie eine Reihe von n Nicht-Null-Absolutdifferenzbewertungen erhalten, wobei n' ≤ n ist. Somit wird n' die tatsächliche Stichprobengröße.

Weisen Sie dann jedem |Di| die Ränge Ri von 1 bis n zu, sodass die kleinste absolute Differenzbewertung den Rang 1 und die größte den Rang n erhält. Wenn zwei oder mehr |Di| gleich sind, wird ihnen jeweils der durchschnittliche Rang der Ränge zugewiesen, die sie einzeln erhalten hätten, falls keine Bindungen in den Daten aufgetreten wären.

Weisen Sie nun jedem der n Ränge Ri das Symbol „+" oder „–" neu zu, je nachdem, ob Di ursprünglich positiv oder negativ war.

Die Wilcoxon-Teststatistik W wird anschließend als Summe der positiven Ränge ermittelt.

In der Praxis wird dieser Test mittels statistischer Analysesoftware oder einer Tabellenkalkulation durchgeführt.

Wofür wird der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test verwendet?

Der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test wird verwendet, um zwei verbundene Stichproben zu vergleichen oder die Unterschiede bei mehreren Messungen derselben Stichprobe zu überprüfen, um festzustellen, ob ein Unterschied in ihren Populationsmittelwerten der Ränge besteht. Die Gesamtaufgabe besteht darin zu sehen, ob es einen Unterschied zwischen zwei Sätzen verbundener Daten gibt und ob diese Unterschiede bedeutsam oder nur zufällig sind.

Was ist der t-Test?

Wie der Wilcoxon-Test wird der t-Test verwendet, um festzustellen, ob ein bedeutsamer Unterschied zwischen zwei verbundenen Stichproben besteht. t-Tests werden verwendet, wenn eine Normalverteilung vorliegt und die Datenvarianzen unbekannt sind. Bei der Anwendung eines t-Tests müssen bestimmte Annahmen getroffen werden.

Warum den Wilcoxon-Test anstelle des t-Tests verwenden?

Da ein t-Test bestimmte Annahmen oder Voraussetzungen erfordert, wird der Wilcoxon-Test verwendet, wenn diese Annahmen nicht erfüllt werden können. Wenn Ihre Daten beispielsweise nicht normalverteilt sind (eine Normalverteilung ist bei einem t-Test erforderlich), würden Sie einen Wilcoxon-Test verwenden.