Z-Test

Wichtige Erkenntnisse

• Z-Tests werden angewendet, wenn die Standardabweichung bekannt ist und die Stichprobengröße 30 oder mehr beträgt.
• Z-Scores resultieren aus Hypothesentests bei normalverteilten Daten.
• T-Tests sind ideal für kleine Stichproben, wenn die Standardabweichung unbekannt ist.
• Der zentrale Grenzwertsatz unterstützt die Zuverlässigkeit von Z-Tests bei großen Stichproben.

Z-Tests verstehen

Ein Z-Test vergleicht einen Mittelwert mit einem hypothetischen Wert. Er testet, ob zwei Mittelwerte gleich oder unterschiedlich sind. Die Daten müssen annähernd einer Normalverteilung entsprechen, sonst funktioniert der Test nicht. Parameter wie Varianz und Standardabweichung sollten bei der Durchführung eines Z-Tests berechnet werden.

Ein Z-Test ist ein statistischer Test. Die Varianzen sind bekannt und die Stichprobengröße ist groß, wenn er bestimmt, ob zwei Grundgesamtheitsmittelwerte gleich oder unterschiedlich sind.

Grundlagen des Hypothesentests

Der Z-Test ist ebenfalls ein Hypothesentest, bei dem die Z-Statistik einer Normalverteilung folgt. Der Z-Test eignet sich am besten für Stichproben mit mehr als 30 Elementen, da die Stichproben gemäß dem zentralen Grenzwertsatz bei größeren Stichproben als annähernd normalverteilt gelten. Damit ein Z-Test effektiv ist, muss die Grundgesamtheit normalverteilt sein und die Stichproben müssen die gleiche Varianz aufweisen. Alle Datenpunkte sollten unabhängig voneinander sein.1

Bei der Durchführung eines Z-Tests sollten die Null- und Alternativhypothese sowie das Alpha-Niveau angegeben werden. Der Z-Score sollte berechnet werden, und die Ergebnisse und Schlussfolgerungen geben an, wie viele Standardabweichungen über oder unter dem Mittelwert der Grundgesamtheit ein aus einem Z-Test abgeleiteter Wert liegt.

Beispiele für Tests, die als Z-Tests durchgeführt werden können, sind der Einstichproben-Lagetest, der Zweistichproben-Lagetest, der gepaarte Differenztest und die Maximum-Likelihood-Schätzung.

Z-Tests sind eng mit T-Tests verwandt, aber T-Tests werden am besten durchgeführt, wenn ein Experiment eine kleine Stichprobengröße hat. Außerdem nehmen T-Tests an, dass die Standardabweichung unbekannt ist, während Z-Tests annehmen, dass sie bekannt ist. Wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit unbekannt ist, wird die Annahme getroffen, dass die Stichprobenvarianz der Grundgesamtheitsvarianz entspricht.

Formel für den Z-Score

Der Z-Score wird mit der folgenden Formel berechnet:

Wobei:

z = Z-Score

x = der zu bewertende Wert

μ = der Mittelwert

σ = die Standardabweichung

Beispiel für einen Einstichproben-Z-Test

Angenommen, ein Anleger möchte testen, ob die durchschnittliche tägliche Rendite einer Aktie größer als 3% ist. Eine Zufallsstichprobe von 50 Renditen wird berechnet, mit einem Durchschnitt von 2%. Angenommen, die Standardabweichung der Renditen beträgt 2,5%. Daher ist die Nullhypothese, dass der Durchschnitt oder Mittelwert 3% beträgt.

Umgekehrt lautet die Alternativhypothese, ob die durchschnittliche Rendite größer oder kleiner als 3% ist. Angenommen, ein Alpha von 0,05% wird bei einem zweiseitigen Test ausgewählt. In jedem Schwanz befinden sich 0,025% der Stichproben, und das Alpha hat einen kritischen Wert von 1,96 oder -1,96. Wenn „Z“ größer als 1,96 oder kleiner als -1,96 ist, wird die Nullhypothese abgelehnt.

Der Wert für Z wird berechnet, indem der Wert der für den Test ausgewählten durchschnittlichen täglichen Rendite, in diesem Fall 3%, vom beobachteten Durchschnitt der Stichproben abgezogen wird. Als nächstes wird der resultierende Wert durch die Standardabweichung geteilt durch die Quadratwurzel der Anzahl der beobachteten Werte dividiert.

Daher ist die Teststatistik:

Der Anleger lehnt die Nullhypothese ab, da z kleiner als -1,96 ist, und kommt zu dem Schluss, dass die durchschnittliche tägliche Rendite weniger als 3% beträgt.

Was ist der Unterschied zwischen einem T-Test und einem Z-Test?

T-Tests werden am besten durchgeführt, wenn die Daten eine kleine Stichprobengröße aufweisen, d.h. weniger als 30. T-Tests gehen davon aus, dass die Standardabweichung unbekannt ist, während Z-Tests davon ausgehen, dass sie bekannt ist.

Wann sollte man einen Z-Test verwenden?

Wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt ist und die Stichprobengröße größer oder gleich 30 ist, kann der Z-Test verwendet werden. Unabhängig von der Stichprobengröße sollte ein T-Test verwendet werden, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit unbekannt ist.

Was ist der zentrale Grenzwertsatz (CLT)?

Im Studium der Wahrscheinlichkeitstheorie besagt der zentrale Grenzwertsatz (CLT), dass sich die Verteilung einer Stichprobe einer Normalverteilung (auch als „Glockenkurve“ bekannt) annähert, je größer die Stichprobe wird, vorausgesetzt, dass alle Stichproben gleich groß sind und unabhängig von der Form der Grundgesamtheitsverteilung. Stichprobengrößen von 30 oder mehr gelten als ausreichend, damit der CLT die Merkmale einer Grundgesamtheit genau vorhersagen kann. Die Zuverlässigkeit des Z-Tests hängt von der Gültigkeit des CLT ab.