Zentraler_Grenzwertsatz

Wichtige Erkenntnisse

• Der Zentrale Grenzwertsatz zeigt, dass bei einer ausreichend großen Stichprobengröße die Verteilung der Stichprobenmittelwerte die Eigenschaften einer Grundgesamtheit genau widerspiegeln kann.
• Stichprobengrößen von 30 oder mehr gelten unter dem Zentralen Grenzwertsatz oft als ausreichend.
• Anleger können den CLT nutzen, um eine Zufallsstichprobe von Aktien zu untersuchen und Renditen für ein Portfolio zu schätzen.
• Investopedia / Jiaqi Zhou

Was ist der Zentrale Grenzwertsatz (CLT)?

Der Zentrale Grenzwertsatz ist bei der Analyse großer Datensätze nützlich, da er annimmt, dass die Stichprobenverteilung des Mittelwerts normalverteilt ist und typischerweise eine Glockenkurve bildet. Der CLT kann in Verbindung mit dem Gesetz der großen Zahlen verwendet werden, das besagt, dass der aus einer großen Gruppe unabhängiger Zufallsstichproben ermittelte Durchschnitt gegen den wahren Wert konvergiert.

Den Zentralen Grenzwertsatz (CLT) verstehen

Nach dem Zentralen Grenzwertsatz liegt der Mittelwert einer Datenstichprobe umso näher am Mittelwert der untersuchten Gesamtpopulation, je größer die Stichprobe ist – unabhängig von der tatsächlichen Verteilung der Daten. Dieses Konzept gilt unabhängig davon, ob die Verteilung der Population normal oder schief ist.1

Als Faustregel gelten Stichprobengrößen von 30 oder mehr in der Regel als ausreichend, damit der CLT gilt, d. h. die Verteilung der Stichprobenmittelwerte ist annähernd normalverteilt. Zudem sollte die grafische Darstellung der Ergebnisse umso mehr die Form einer Normalverteilung annehmen, je mehr Stichproben man nimmt.1

Der Zentrale Grenzwertsatz wird häufig in Verbindung mit dem Gesetz der großen Zahlen verwendet, das besagt, dass der Durchschnitt der Stichprobenmittelwerte mit zunehmender Stichprobengröße näher an den Populationsmittelwert heranrückt. Dieses Konzept kann äußerst nützlich sein, um die Eigenschaften sehr großer Populationen genau vorherzusagen.

Obwohl dieses Konzept erstmals 1733 von Abraham de Moivre entwickelt wurde, wurde es erst 1920 formalisiert, als der ungarische Mathematiker George Pólya ihm den Namen Zentraler Grenzwertsatz gab.23

Schlüsselkomponenten des Zentralen Grenzwertsatzes

Der Zentrale Grenzwertsatz hat mehrere Schlüsselkomponenten. Sie drehen sich hauptsächlich um die Stichprobentechnik.

Die Stichprobe ist zufällig: Alle Stichproben müssen zufällig ausgewählt werden, sodass sie alle die gleiche statistische Wahrscheinlichkeit haben, ausgewählt zu werden.

Stichproben sollten unabhängig sein: Die Auswahlen oder Ergebnisse einer Stichprobe sollten keinen Einfluss auf zukünftige Stichproben oder andere Stichprobenergebnisse haben.

Große Stichprobengröße: Mit zunehmender Stichprobengröße sollte sich die Stichprobenverteilung immer mehr der Normalverteilung annähern.

Stichproben stammen aus identischen Verteilungen: Stichproben müssen unter denselben Bedingungen gezogen werden und dieselben zugrunde liegenden Eigenschaften aufweisen.45

Der Zentrale Grenzwertsatz in Finanzen und Investitionen

Der CLT kann helfen, die Renditen einer einzelnen Aktie oder breiterer Aktienindizes zu untersuchen, da die Analyse aufgrund der relativ einfachen Generierung der erforderlichen Finanzdaten einfach ist. Folglich verlassen sich Anleger häufig auf den CLT, um Aktienrenditen zu analysieren, Portfolios zu konstruieren und Risiken zu managen.

Angenommen, ein Anleger möchte die Gesamtrendite für einen Aktienindex analysieren, der aus 1.000 verschiedenen Aktien besteht. In diesem Szenario könnte der Anleger einfach eine Zufallsstichprobe von Aktien untersuchen, um eine geschätzte Rendite für den gesamten Index zu erhalten. Um hier sicherzugehen, sollten mindestens 30 bis 50 zufällig ausgewählte Aktien aus verschiedenen Sektoren beprobt werden, damit der Zentrale Grenzwertsatz gilt.

Einfach erklärt

Stell dir ein großes Glas vor, das mit verschiedenen Hartbonbons gefüllt ist – einige groß, einige klein, einige rund, einige eckig. Du möchtest die durchschnittliche Größe wissen, kannst aber nicht jedes einzelne messen. Also nimmst du eine Handvoll, misst sie und notierst den Durchschnitt. Dann machst du es noch einmal. Jede Handvoll ergibt einen leicht anderen Durchschnitt. Aber wenn du weiterhin zufällige Handvoll nimmst und diese Durchschnitte in einem Diagramm darstellst, wird dein Diagramm beginnen, eine Glockenkurve zu bilden – hoch in der Mitte, niedriger an den Seiten.

Auch wenn die Bonbons nicht gleichmäßig groß sind, zeigt der Zentrale Grenzwertsatz (CLT), dass die Durchschnitte bei ausreichend vielen Zufallsstichproben anfangen, sich vorhersagbar zu verhalten und sich um den tatsächlichen Durchschnitt zu scharen. Deshalb können Statistiker und Anleger Stichproben untersuchen und dennoch genaue Vorhersagen über große Gruppen treffen.

Warum ist der Zentrale Grenzwertsatz nützlich?

Der Zentrale Grenzwertsatz ist bei der Analyse großer Datensätze nützlich, da er die Annahme erlaubt, dass die Stichprobenverteilung des Mittelwerts in den meisten Fällen normalverteilt ist. Dies ermöglicht eine einfachere statistische Analyse und Inferenz. Beispielsweise können Anleger den Zentralen Grenzwertsatz nutzen, um einzelne Wertpapierrenditedaten zu aggregieren und eine Verteilung von Stichprobenmittelwerten zu generieren, die eine größere Populationsverteilung der Wertpapierrenditen über einen bestimmten Zeitraum darstellt.

Wie lautet die Formel für den Zentralen Grenzwertsatz?

Der Zentrale Grenzwertsatz hat keine Formel, die in seiner praktischen Anwendung verwendet wird. Sein Prinzip wird einfach angewendet. Bei einer ausreichend großen Stichprobengröße nähert sich die Stichprobenverteilung einer Normalverteilung an, und der Stichprobenmittelwert nähert sich dem Populationsmittelwert. Er legt nahe, dass wir bei einer Stichprobengröße von mindestens 30 beginnen können, die Daten so zu analysieren, als ob sie einer Normalverteilung entsprechen.

Warum beträgt die Mindeststichprobengröße des Zentralen Grenzwertsatzes 30?

Eine Stichprobengröße von 30 oder mehr ist in der Statistik als Minimum für die Anwendung des Zentralen Grenzwertsatzes weit verbreitet. Je größer Ihre Stichprobengröße, desto wahrscheinlicher ist es, dass die Stichprobe repräsentativ für Ihre Grundgesamtheit ist.6

Was ist das Gesetz der großen Zahlen?

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik besagt das Gesetz der großen Zahlen, dass der Mittelwert einer Stichprobe umso wahrscheinlicher den Mittelwert der gesamten Population widerspiegelt, je größer die Stichprobengröße ist.

Im Unternehmenskontext kann das Gesetz der großen Zahlen eine andere Bedeutung haben, nämlich dass es für ein Unternehmen mit zunehmender Größe schwieriger wird, seine Wachstumsrate in Prozent beizubehalten.