Zufallsvariable

Wichtige Erkenntnisse

• Eine Zufallsvariable weist Versuchsergebnissen Werte zu.
• Zufallsvariablen sind zentral in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik.
• Sie schätzen Wahrscheinlichkeiten negativer Ereignisse in der Risikoanalyse.
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• Xiaojie Liu / Investopedia

Was ist eine Zufallsvariable?

Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren Wert unbekannt ist, oder eine Funktion, die jedem Versuchsergebnis Werte zuweist. Zufallsvariablen werden oft durch Buchstaben bezeichnet und können als diskret oder kontinuierlich klassifiziert werden. Diskrete Variablen haben spezifische Werte. Kontinuierliche Variablen können beliebige Werte innerhalb eines kontinuierlichen Bereichs annehmen.1

Zufallsvariablen werden häufig in der ökonometrischen oder Regressionsanalyse verwendet, um statistische Beziehungen zwischen ihnen zu bestimmen.

Wie eine Zufallsvariable funktioniert

Zufallsvariablen werden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik verwendet, um Ergebnisse eines Zufallsereignisses zu quantifizieren, und sie können daher viele Werte annehmen. Sie müssen messbar sein und sind typischerweise reelle Zahlen. Der Buchstabe X könnte verwendet werden, um die Summe der resultierenden Zahlen nach dem Würfeln mit drei Würfeln darzustellen. X könnte 3 (1+1+1), 18 (6+6+6) oder irgendwo zwischen 3 und 18 sein, da die höchste Zahl auf einem Würfel 6 und die niedrigste 1 ist.

Eine Zufallsvariable unterscheidet sich von einer algebraischen Variable. Die Variable in einer algebraischen Gleichung ist ein unbekannter Wert, der berechnet werden kann. Die Gleichung 10 + X = 13 zeigt, dass wir den spezifischen Wert für X berechnen können, nämlich 3. Eine Zufallsvariable hat eine Menge von Werten, und jeder dieser Werte könnte das resultierende Ergebnis sein, wie im Beispiel der Würfel gezeigt.2

Wichtig

Zufallsvariablen können in der Unternehmenswelt Eigenschaften zugewiesen werden, wie dem Durchschnittspreis eines Vermögenswerts über einen bestimmten Zeitraum, der Kapitalrendite nach einer bestimmten Anzahl von Jahren oder der geschätzten Fluktuationsrate in einem Unternehmen innerhalb von sechs Monaten.

Risikoanalysten weisen Zufallsvariablen in Risikomodellen zu, wenn sie die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines negativen Ereignisses schätzen möchten. Diese Variablen werden mit Werkzeugen wie Szenario- und Sensitivitätsanalysetabellen dargestellt, die Risikomanager nutzen, um Entscheidungen zur Risikominderung zu treffen.

Arten von Zufallsvariablen

Eine Zufallsvariable kann entweder diskret oder kontinuierlich sein.

Diskrete Zufallsvariablen

Diskrete Zufallsvariablen nehmen eine abzählbare Anzahl von unterschiedlichen Werten an. Betrachten Sie ein Experiment, bei dem eine Münze dreimal geworfen wird. Wenn X die Anzahl der Male darstellt, die die Münze Kopf zeigt, dann ist X eine diskrete Zufallsvariable, die nur die Werte 0, 1, 2 oder 3 annehmen kann, von keinem Kopf bei drei aufeinanderfolgenden Münzwürfen bis zu allen Köpfen. Kein anderer Wert ist möglich.3

Kontinuierliche Zufallsvariablen

Kontinuierliche Zufallsvariablen können jeden Wert innerhalb eines bestimmten Bereichs oder Intervalls darstellen und eine unendliche Anzahl möglicher Werte annehmen. Ein Beispiel wäre ein Experiment, bei dem die Niederschlagsmenge in einer Stadt über ein Jahr gemessen wird oder die durchschnittliche Körpergröße einer zufälligen Gruppe von 25 Personen.3

Sie werden feststellen, dass das resultierende Ergebnis eine kontinuierliche Größe ist, wenn Y die Zufallsvariable für die durchschnittliche Körpergröße einer zufälligen Gruppe von 25 Personen darstellt, da die Größe 5 Fuß, 5.01 Fuß oder 5.0001 Fuß betragen kann. Es gibt eine unendliche Anzahl möglicher Werte für die Körpergröße.

Beispiel einer Zufallsvariable

Ein typisches Beispiel einer Zufallsvariable ist das Ergebnis eines Münzwurfs. Betrachten Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der die Ergebnisse eines Zufallsereignisses nicht gleich wahrscheinlich sind. Y könnte 0, 1 oder 2 sein, wenn die Zufallsvariable Y die Anzahl der Köpfe ist, die wir beim Werfen von zwei Münzen erhalten. Wir könnten keine Köpfe, einen Kopf oder beide Köpfe bei einem Zwei-Münzen-Wurf haben.

Allerdings landen die beiden Münzen auf vier verschiedene Arten: TT, HT, TH und HH. Die P(Y=0)=1/4, weil wir eine Chance haben, keinen Kopf zu bekommen, wenn die Münzen geworfen werden: zwei Zahl [TT]. Die Wahrscheinlichkeit, zwei Köpfe (HH) zu bekommen, ist ebenfalls 1/4. Beachten Sie, dass das Erhalten eines Kopfes eine Wahrscheinlichkeit hat, zweimal vorzukommen: bei HT und TH. P(Y=1)=2/4=1/2 in diesem Fall.

Erklärt, als wäre ich 5 Jahre alt

Eine Zufallsvariable hat eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit darstellt, dass einer der möglichen Werte eintritt. Sie würfeln einmal. Die Zufallsvariable Z ist die Zahl, die oben erscheint, wenn der Würfel landet.

Z könnte sechs mögliche Werte haben, da der Würfel mit 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 oben landen könnte. Alle haben die gleiche Chance, oben zu erscheinen, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass einer von ihnen dort landet, 1/6.

Was sind die 2 Arten von Zufallsvariablen?

Zufallsvariablen können entweder als diskret oder kontinuierlich kategorisiert werden. Eine diskrete Zufallsvariable ist eine Art von Zufallsvariable, die eine abzählbare Anzahl von unterschiedlichen Werten hat, wie Kopf oder Zahl, Spielkarten oder die Seiten eines Würfels. Eine kontinuierliche Zufallsvariable kann eine unendliche Anzahl möglicher Werte widerspiegeln, wie den durchschnittlichen Niederschlag in einer Region.

Was ist eine gemischte Zufallsvariable?

Eine gemischte Zufallsvariable kombiniert Elemente sowohl diskreter als auch kontinuierlicher Zufallsvariablen.

Wie identifiziere ich eine Zufallsvariable?

Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren Wert unbekannt ist, oder eine, der ein zufälliger Wert basierend auf einem datengenerierenden Prozess oder einer mathematischen Funktion zugewiesen wird.

Warum sind Zufallsvariablen wichtig?

Zufallsvariablen erzeugen Wahrscheinlichkeitsverteilungen basierend auf Experimenten, Beobachtungen oder einem anderen datengenerierenden Prozess. Zufallsvariablen ermöglichen es uns auf diese Weise, die Welt um uns herum auf der Grundlage einer Datenstichprobe zu verstehen. Wir kennen die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Wert in der realen Welt oder zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft eintritt.